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Les Carrés Magiques Associés. Définitions - Généralités |
| Les nombres complémentaires |
Dans la suite naturelle des nombres entiers de 1 à N, on appelle " nombres complémentaires " les couples formés de deux nombres symétriques par rapport au milieu de la suite, paire ou impaire.
Par exemple, dans la suite des nombres de 1 à N = 16, ci-dessous :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
les couples 1-16, 2-15, 3-14, 4-13 etc… sont formés de nombres complémentaires.
On observe que
- - la somme de deux nombres complémentaires est constante et égale à N + 1.
- - dans une suite impaire, le terme médian M est égale à ½ (N + 1).
| Les cases complémentaires |
Dans une grille carrée ou rectangulaire, on appelle " cases complémentaires ", les couples de cases symétriques par rapport au centre de la grille.
| Les Carrés magiques associés |
Dans un carré magique normal, lorsque les couples de nombres complémentaires de la suite des n2 entiers consécutifs, se trouvent dans les cases complémentaires, on dit que le carré magique en cause est du type " associé ".
Cette disposition correspond au type de base III de la Classification de Dudeney [ I ] - (1)
Exemples
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Les 8 formes du Lo Shu correspondent à des carrés magiques du type " associé ".
Les carrés magiques associés, relativement peu nombreux dans la grande famille des carrés magiques normaux, sont cependant omniprésents dans tous les ouvrages traitant des carrés magiques , souvent de façon anonyme.
| Propriétés générales des carrés magiques associés |
I – Dans un carré magique associé, la somme P de deux nombres complémentaires est égale à
P = ( n2 + 1 ) : cette constante numérique est appelée " constante de polarisation " par le général Cazalas [ II ]
II – Dans le cas d’une grille impaire, le terme médian M de la suite naturelle des entiers de 1 à N, avec N = n2, se trouve dans la case centrale de la grille, et vaut M = ½ ( n2 + 1 ), c’est-à-dire Mn/n. La réciproque n’est pas vraie.
III – Toujours dans le cas d’une grille impaire, le terme médian M dans la case centrale, est égal à la différence, en valeur absolue, entre les couples de nombres comptés à partir d’une case angulaire, en tournant toujours dans le sens approprié, pour aboutir à la case centrale.
Ainsi dans l’exemple ci-dessus, pour n = 5 : 15 – 2 = 13 ; 19 – 6 = 13 ; 23 – 10 = 13 ; etc…
IV – Les carrés magiques associée sont autocomplémentaires, et semi-pandiagonaux [ IV ]
| La construction des carrés magiques associés. |
Parmi les nombreuses méthodes de construction des carrés magiques normaux, un certain nombre conduisent à des carrés magiques associés.
Ordre pair.
- La méthode de Bachet de Méziriac ;
- La méthode du cavalier d’Euler
- Les carrés magiques à compartiments ( n = 9 )
Ordre impair
- La méthode de François Spinula ( n = 4 )
- La méthode d’Antoine Arnauld ( n = 4 et n = 4k)
- La méthode de De La Hire ( n = 4k )
- La méthode des nombres complémentaires sur les diagonales ( n = 4k )
- La méthode des pointages ( n = 4k )
- La méthode des inversions ( n = 4k )
- La méthodes des permutations ( n = 4k )
Ces méthodes sont exposées dans plusieurs ouvrages [ II, III, IV ]
| Les carrés magiques associés. Bibliographie |
[I] Henry E. Dudeney (1917-1958) – Amusements in Mathematics – Dover Publications, New York
[II] Général Cazalas (1934) – Carrés magiques au degré n – Hermann Editeur, Paris
[III] William H. Benson & Ostwald Jacoby (1976) – New Recreations with Magic Squares – Dover Publications, New York.
[IV] René Descombes (2000)– Les Carrés Magiques – Vuibert Editeur, Paris, 500 pp.
[V] Bernard Gervais (1998) – Les Carrés Magiques de 5 (Les mosaïques magiques) – Eyrolles Editeur, 195 pp.
