Les carrés magiques associés d’ordre n = 4

Lorsque l’on accole deux couples quelconques de nombres complémentaires, la somme des 4 nombres ainsi groupés, est constante. Cela résulte directement de la propriété I énoncée ci-dessus, et cette somme vaut donc 2 ( n2 + 1 ) = 2 P, soit le double de la constante de polarisation.

Cette remarque est particulièrement intéressante dans le cas des carrés magiques associés d’ordre

n = 4, car cette somme, soit 2 ( n2 + 1 ) = 34, est précisément égale à la constante magique des carrés magiques normaux d’ordre n = 4.

Soit un carré magique associé d’ordre n = 4 : le carré dit de Dürer, par exemple :

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

Il y a 8 couples de nombres complémentaires dans la suite des entiers de 1 à 16, que l’on peut identifier par les lettres A, B, C, D….H :

1 - 16
2 – 15
3 - 14
4 – 13
5 – 12
6 – 11
7 – 10
8 - 9
A
B
C
D
E
F
G
H

Le groupement de deux couples de cette série de 8, s’identifie aux combinaisons de 8 termes 2 à 2.

Le nombre de combinaisons est alors C = C= 28.

Il est facile de dresser le tableau de ces 28 combinaisons :

AB AC AD AE AF AG AH
BC BD BE BF BG BH
CD CE CF CG CH
DE DF DG DH
EF EG EH
FG FH
GH

La somme des 2 couples, soit 4 nombres, correspondant à ces 28 combinaisons, donne donc la constante magique M 4= 34 du carré magique normal d’ordre n = 4

Ces 28 combinaisons, ajoutées aux formations connues de 4 termes donnant la constante magique d’ordre n = 4, totalisent ainsi 48 formations ou façons de grouper 4 termes d’un carré magique associé pour obtenir la constante magiques M 4= 34.

Ces 48 formations sont visualisées dans les cases pointées de la planche ci-dessous. On remarque que 20 formations de 4 cases pointées sont situées sur une circonférence.

 

 Les 48 formations de 4 termes dont la somme est égale à la constante magique dans un carré magique de type associé d’ordre n = 4 

O   O   O O     O     O O       O       O      
                        O           O     O    
                              O   O         O  
  O   O     O O O     O       O       O       O

O         O O       O O     O       O       O  
      O                 O           O     O    
O                             O   O         O  
      O   O O   O O       O       O       O    

    O     O   O   O       O       O       O    
      O         O           O     O           O
O                     O   O         O   O      
  O     O   O       O       O       O       O  

      O       O       O       O                
O           O     O           O O   O   O O    
      O   O         O   O         O   O     O O
O       O       O       O                      

                                O O         O O
O     O   O O       O O   O   O O O         O O
O     O   O O   O O     O   O                  
                                               

                  O   O O   O                  
                                O   O     O   O
    O O O O       O   O O   O                  
    O O O O                     O   O     O   O

  O O                           O O O O        
          O O   O   O     O   O         O O O O
  O O           O   O     O   O                
          O O                                  

                O         O         O         O
                O         O         O         O
O O O O         O         O         O         O
        O O O O O         O         O         O

 

 Les 48 carrés magiques associés d’ordre n = 4 

1
8
12
13

1
8
12
13

1
8
14
11

1
8
14
11
14
11
7
2

15
10
6
3

12
13
7
2

15
10
4
5
15
10
6
3

14
11
7
2

15
10
4
5

12
13
7
2
4
5
9
16

4
5
9
16

6
3
9
16

6
3
9
16
112
113
120
122

1
8
15
10

1
8
15
10

1
12
8
13

1
12
8
13
12
13
6
3

14
11
4
5

14
7
11
2

15
6
10
3
14
11
4
5

12
13
6
3

15
6
10
3

14
7
11
2
7
2
9
16

7
2
9
16

4
9
5
16

4
9
5
16
124
126
175
176

1
12
14
7

1
12
15
6

1
14
8
11

1
14
12
7
15
6
4
9

14
7
4
9

15
4
10
5

15
4
6
9
8
13
11
2

8
13
10
3

12
7
13
2

8
11
13
2
10
3
5
16

11
2
5
16

6
9
3
16

10
5
3
16
183
185
203
206

2
7
11
14

2
7
11
14

2
7
13
12

2
7
13
12
13
2
8
1

16
9
5
4

11
14
8
1

16
9
3
6
16
9
5
4

13
12
8
1

16
9
3
6

11
14
3
1
3
6
10
15

3
6
10
15

5
4
10
15

5
4
10
15
289
290
297
299

2
7
16
9

2
7
16
9

2
11
7
14

2
11
7
14
11
14
5
4

13
12
3
6

13
12
8
1

16
5
9
4
13
12
3
6

11
14
5
4

16
5
9
4

13
8
12
1
8
1
10
15

8
1
10
15

3
10
6
15

3
10
6
15
306
308
360
361

2
11
13
8

2
11
16
5

2
13
7
12

2
13
11
8
11
5
3
10

13
8
3
10

16
3
9
6

16
3
5
10
7
14
12
1

7
14
9
4

11
8
14
1

7
12
14
1
9
4
6
15

12
1
6
15

5
10
4
15

9
6
4
15
368
377
392
395

3
6
13
12

3
6
13
12

3
6
16
9

3
6
16
9
10
15
8
1

16
9
2
7

10
15
5
4

13
12
2
7
16
9
2
7

10
15
8
1

13
12
2
7

10
15
5
4
5
4
11
14

5
4
11
14

8
1
11
14

8
1
11
14
476
478
487
489

3
10
13
8

3
10
16
5

3
13
6
12

3
13
10
8
16
5
2
11

13
8
2
11

16
2
9
7

16
2
5
11
6
15
12
1

6
15
9
4

10
8
15
1

6
12
15
1
9
4
7
14

12
1
7
14

5
11
4
14

9
7
4
14
535
539
558
562

4
5
14
11

4
5
14
11

4
5
15
10

4
5
15
10
9
16
7
2

15
10
1
8

9
16
6
3

14
11
1
8
15
10
1
8

9
16
7
2

14
11
1
8

9
16
6
3
6
3
12
13

6
3
12
13

7
2
12
13

7
2
12
13
628
632
635
637

4
9
14
7

4
9
15
6

4
14
5
11

4
14
9
7
15
6
1
12

14
7
1
12

15
1
10
8

15
1
6
12
5
16
11
2

5
16
10
3

9
16
7
2

5
11
16
2
10
3
8
13

11
2
8
13

6
12
3
13

10
8
3
13
695
698
741
746

5
4
16
9

5
4
16
9

5
10
11
8

5
11
10
8
10
15
3
6

11
14
2
7

16
3
2
13

16
2
3
13
11
14
2
7

10
15
3
6

4
15
14
1

4
14
15
1
8
1
13
12

8
1
13
12

9
6
7
12

9
7
6
12
789
790
803
808

6
3
15
10

6
3
15
10

6
9
12
7

6
12
9
7
9
16
4
5

12
13
1
8

15
4
1
14

15
1
4
14
12
13
1
8

9
16
4
5

3
6
13
2

3
13
16
2
7
2
14
11

7
2
14
11

10
5
8
11

10
8
5
11
834
835
850
860