Les carrés magiques associés d’ordre n. Une généralisation

 Les carrés magiques associés d’ordre n = 5 

20

8

21

14

2

11

4

17

10

23

7

25

13

1

19

3

16

9

22

15

24

12

5

18

6

Apres le cas n = 4, On peut étudier le même problème pour n = 5, n = 6… mais cela n’a pas le même intérêt.

Pour n = 5, on a 12 couples de nombres complémentaires.Le nombre de combinaisons de ces 12 couples 2 à 2 est C= 66

La constante de polarisation est P = n2 + 1 = 26, et la somme correspondant à chacune de ces 66 formations est donc 2 P = 52, nombre tout à fait indépendant de la constante magique M5 = 65 du carré magique normal d’ordre n = 5.

La visualisation de ces formations dans 66 grilles de 25 cases offre un moindre intérêt.

 Une généralisation 

On peut envisager l’association de p couples de nombres complémentaires, avec p > 2, dont la somme constante est alors pP.

Ainsi par exemple avec n = 4, m = 8, p = 3, P = 17 et donc pP = 3 x 17 = 51, le nombre de combinaisons correspondant est C= C = 56.

Dans cet exemple, il faut alors dresser le tableau des combinaisons du type ABC pour p = 3.

Et de type ABCD pour p = 4, etc…

Les différentes valeurs que peut prendre p conduisent aux résultats rassemblés dans le tableau ci-dessous :

 

p = 2

p = 3

p = 4

p = 5

p = 6

p = 7

p = 8

C

28

56

70

56

28

8

1

pP

34

51

68

85

102

119

136

La visualisation correspondante conduit à un certain graphisme qui n’est pas sans intérêt.

Exemples : pour p = 8 ; on remplit toute la grille, et pP est égal à la somme des 16 premiers entiers.

 
O
      
O
O
    
O
O
O
 
O
  
O
  
O
  
O
  
O
  
O
O
  
O
  
O
  
O
  
O
O
O
  
   
O
    
O
O
  
O
O
O
  
p =3
56 solutions		 p = 4
70 solutions		 p = 5
56 solutions

 
O
O
O
  
O
O
O
O
O
O
O
O
O
  
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
  
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
  
O
O
O
  
O
O
O
O
p =6
28 solutions		 p = 7
8 solutions		 p = 8
1 solution

On peut bien sûr continuer l’expérience, avec n = 5, m = 12, P = 26, et p prenant les valeurs 2, 3, 4, 5….12.