Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
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Les carrés magiques associés. Un cas particulier: les Carrés magiques de Thomas Mann

Ce problème a été soulevé par Marc Laura dans le supplément au n° 77 de la revue " Tangente " (oct. nov. 2000) : " Les carrés de Thomas Mann ", pp. 22 – 25.

En substance, l’écrivain Thomas Mann présente dans un de ses romans (1947), un carré magique punaisé sur le mur de la chambre occupée par Adrian, à Halle, qui est de la forme ci-dessous :

16
      
       
       
     
1

C’est tout ce qu’il donne comme indications ( Thomas Mann – Le Docteur Faustus, ou la vie du musicien allemand Adrian Leverkuhn – Club du Livre du Mois, 1957, p.86)

Marc Laura pose la question pertinente de savoir si cette description sommaire permet de trouver le carré magique correspondant, et expose une méthode qui donne un certain nombre de solutions.

Il faut remarquer que le " Carré magique de Thomas Mann " est du type associé, ce qui n’apparaît pas dans la communication de Marc Laura (un cas d’anonymat). Cette remarque est essentielle, car on sait en effet qu’il existe 48 carrés magiques de type associé sur les 880 carrés magiques d’ordre

n = 4. Une méthode triviale permet alors de résoudre complètement le problème.

Un quart d’heure suffit pour sélectionner ces 48 carrés magiques associés dans la liste donnée par Benson & Jacoby [ III ] : ils sont du type III de la classification de Dudeney, et le type correspondant est donné pour chaque carré magique de cette liste ( Numérotation de Frénicle).

 

Voici les numéros de ces 48 carrés magiques associés d’ordre n = 4 (Classification de Frénicle) :

112, 113, 120, 122, 124, 126, 175, 176, 183, 185, 203, 206,

289, 290, 297, 299, 306, 308, 360, 361, 368, 377, 392, 395,

476, 478, 487, 789, 535, 539, 558, 562, 628, 632, 635, 637,

695, 698, 741, 746, 789, 790, 803, 808, 834, 835, 850, 860.

Et parmi ces 48 carré magiques associés, 12 sont de la forme décrite par Thomas Mann. Ce sont, à une rotation près, les numéros suivants, tous sur la première ligne ci-dessus :

112, 113, 120, 122, 124, 126,175, 176, 183, 185, 203, 206.

Chacun de ces 12 carrés magiques associés, qualifiés " de base ", pourrait donner 8 images différentes ( permutation des lignes médianes, permutation des colonnes médianes, cumul de ces deux manips, et enfin symétrie par rapport à la première diagonale, qui seule conserve la disposition du couple 1 – 16), soit au total 12 x 8 = 96 solutions.

Cependant on remarque que plusieurs carrés sont déjà le résultat de la permutation des lignes ou des colonnes médianes :

112 et 113, 120 et 122, 124 et 126
175 et 176, 183 et 206, 185 et 203

Ces couples donnent donc à la suite de ces manips, les mêmes " figures ", de sorte qu’au total il reste 6 x 8 = 48 solutions différentes pour les carrés de Thomas Mann. C’est sans doute un peu plus long à établir.

Voici les 6 carrés magiques associés " de base " donnant les 48 carrés magiques de Thomas Mann :

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4

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8
1

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8
1
112

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124

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1

6
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12
1
175

183

185

On peut étudier l’implantation, aux extrémités des diagonales de la grille d’ordre n = 4, des autres couples de nombres complémentaires. On trouve également, parmi les 48 carrés magiques associés, 12 carrés magiques associés " de base " pour chaque couples de nombres complémentaires.

Voici pour les 8 couples de nombres complémentaires, leur implantation aux extrémités des diagonales dans les 48 carrés magiques associés d’ordre n = 4 :

1-16
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124
126
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361
368
377
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395
3-14
289
290
360
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489
535
539
558
562
4-13
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628
632
635
637
695
698
741
746
5-12
297
299
377
392
476
478
539
558
789
790
803
808
6-11
120
122
185
203
628
632
698
741
834
835
850
860
7-10
124
126
183
306
635
637
695
746
834
835
850
860
8-9
306
308
368
395
487
489
635
562
789
790
803
808

On remarque que cette répartition est relativement homogène au sein de la table des 880 carrés magiques d’ordre n = 4.

Cela dit, la méthode triviale employée ici pour n = 4, serait inapplicable par exemple pour n = 5 : rappelons qu’il y a 275.305.224 carrés magiques d’ordre n = 5.

Combien y a-t-il de carrés magiques associés d’ordre n = 5 ?

On peut bien sûr continuer l’expérience, avec n = 5, m = 12, P = 26, et p prenant les valeurs 2, 3, 4, 5….12.

 

 Les 48 carrés magiques associés de Thomas Mann 

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4

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n° 112

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Carré de Dürer

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n° 120

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n° 124

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n° 175

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n° 185

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 Notice sur Thomas Mann et Le Docteur Faustus 

Thomas Mann (1875-1955). L'œuvre romanesque, immense, de cet écrivain allemand contraint à l'exil par le nazisme, est une méditation sur la santé et la maladie, sur le problème de la décadence et de l'esprit, sur la nature de l'art et de la création artistique; réflexions qui le rapprochent de Goethe, mais où interviennent également les influences de Schopenhauer et de Nietzsche.
Il obtint le prix Nobel de littérature 1929.

Le Docteur Faustus, roman commencé en 1943 et achevé en 1947, peut être vu comme le couronnement de l'œuvre de Thomas Mann. Ses exigences littéraires et ses obsessions trouvent sans doute ici leur expression la plus complète, au terme d'une réflexion dont les grands jalons sont les Buddenbrook (1901) et la Montagne magique (1924). Lorsqu'il entreprend le Docteur Faustus, l'écrivain vit aux États-Unis depuis 1938 et en exil depuis 1933, date de l'arrivée de Hitler au pouvoir en Allemagne.
Le Docteur Faustus raconte la vie d'Adrien Leverkühn, compositeur et être d'exception qui, dès son plus jeune âge, s'est distingué par une intelligence hors du commun, devinant par exemple la pensée de ses professeurs avant qu'ils ne la formulent et se rendant ainsi odieux à leurs yeux. Serenus Zeitblom, ami d'enfance du compositeur, professeur de lycée et honnête homme qui succombe aux illusions de son époque, est le narrateur, mais plus encore le biographe, présent dans la narration et dans son commentaire.

 http://www.nobel.se/literature/laureates/1929/mann-autobio.html
 http://fr.encyclopedia.yahoo.com/articles/sy/sy_1376_p0.html
 http://perso.wanadoo.fr/eps/revue.htm