Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
CARRES MAGIQUES : BIOGRAPHIES


Claude Gaspard Bachet de Méziriac
Benjamin Franklin
Morris Philip 		Michael Stifel
Leonard Euler
René Descombes

Biographies

René Descombes (1924), Ingénieur des Travaux Publics, a occupé différents postes et a assumé diverses fonctions d'études techniques et de direction de travaux en Alsace. Parallelement, ses recherches en histoire des techniques intéressent les transports fluviaux, les voies navigables, les moulins hydrauliques, les manutentions portuaires et les mathématiques, dont les "récréations mathématiques". Plusieurs ouvrages et une centaine d'articles dans diverses revues, jalonnent ses recherches dans des domaines variés.

 Claude Gaspard Bachet de Méziriac est né à Bourg-en-Bresse, dans une famille de notables, magistrats, juristes, tous lettrés. Il fait de solides études chez les Jésuites, à Turin puis à Padoue. Il enseigne lui-même à Milan, à Côme, maîtrisant parfaitement le latin, le grec, l'italien. Revenu en France, il partage son temps entre sa résidence de Bourg-en-Bresse, et sa propriété de Jasseron ( à 7 km de Bourg, belle maison patricienne, qui existe toujours), et entretient une vaste correspondance avec les savants et les lettrés de son époque. Il voyage, à Rome, à Paris.
En dehors des " Problèmes plaisants… ", son premier ouvrage (1612), Bachet écrit, et publie souvent, de nombreuses études, poèmes, commentaires, traductions d'ouvrages en français, latin, italien. Nombre de ses manuscrits sont cependant portés disparus.
Il est élu membre de l'Académie Française lors de sa fondation en 1634, premier écrivain à faire partie des 40. Son grand ouvrage, son " Diophante (1621 - il se marie cette année-là, et aura sept enfants) est resté célèbre, et fonde sa réputation de mathématicien, doublé d'un humaniste.
Cela dit, après cette présentation sommaire du personnage, quel est l'apport de Bachet de Méziriac dans la connaissance des carrés magiques ?
En 1612 paraît donc la première édition des " Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres. Partie recueillie de divers autheurs, et inventez de nouveau avec leur démonstration, par Claude Gaspard Bachet, Sr de Méziriac. Très utile pour toutes sortes de personnes curieuses, qui se servent d'arithmétique. A Lyon, chez Pierre Rigaud - MDCXII " (172 pp). La seconde édition (1624), " revue, corrigée et augmentée de plusieurs propositions et de plusieurs problèmes, par le mesme Autheur ", comprend 248pp.
Sans aucun doute, Bachet n'est pas un précurseur dans le genre ; il y a des antécédents en matière de jeux et curiosités mathématiques. Notre auteur s'est peut-être inspiré directment d'un manuscrit de Lucas Pacioli (1445-1514), existant à la Bibliothèque de Bologne : " De Viribus Quantitatis ". Il a puisé dans d'autres sources antérieures, et l'annonce lui-même.
En ce qui concerne les Carrés magiques, question qui nous intéresse plus directement, Bachet de Méziriac n'est pas non plus un précurseur ; Lucas Pacioli aborde ce thème dans le manuscrit de Bologne. D'ailleurs Bachet déclare lui-même : " J'ai vu en plusieurs autheurs, disposés en cette sorte tous les nombres depuis l'unité jusques aux sept carrés consécutifs commençant à 9, 16, 25, 37, 49, 64, 81. Mais la règle pour les disposer ainsi, je ne lai trouvé en aucun autheur ". Bachet connaît l'ouvrage de Cardan, " Practica arithmetica " (1539), qu'il cite dans son " Diophante " : Cardan donne effectivement sept carrés magiques - les sept carrés des sceaux planétaires- sans préciser leur mode de construction. Il en est de même pour Agrippa de Nettesheim. Quant aux travaux de Michael Stifel (1544), Bachet ne les cite jamais, pas plus que les auteurs orientaux.
Par sa méthode dite des " terrasses " ou des " redans ", Bachet de Méziriac a su tirer une règle générale d'exemples particuliers. Le mérite est peut-être moindre que de l'inventer de toute pièce ; il n'en existe pas moins ; et sa méthode de construction des carrés magiques d'ordre impair est restée incontournable dans toute approche des carrés magiques. Il n'est pas un ouvrage qui ne la cite. Ainsi peut-on considérer le jugement de Pierre de Fermat, que l'on trouve en post-scriptum dans une lettre adressée au Père Marin Mersenne le 1er avril 1640, comme relativement injuste : " Depuis ma lettre écrite, un de mes vieux papiers m'est tombé en main, lequel contient une observation sur le problème XXI de Bachet… Voici l'endroit : il propose de ranger en quarré les nombres consécutifs en progression arithmétique, en sorte que tous les rangs, tant de haut, de bas que des côtés et par diamètres, fassent une même somme, de quoi il baille une règle générale pour les quarrés impairs, et avoue n'en avoir pu trouver aucune pour les pairs, mais avoir fait seulement plusieurs observations particulières, par le moyen desquelles il a rangé les pairs jusques à 14. Or, pour la règle des quarrés impairs, je dis premièrement qu'elle n'est pas de son invention, car elle est dans " l'Arithmétique " de Cardan ; mais d'ailleurs elle ne résout la question que d'une seule façon, qui le peut être en plusieurs. Je dis donc… que la règle des pairement impairs n'est pas différente de celle des pairement pairs, mais bien la mesme, quoique Bachet ait cru qu'elles doivent être différentes "
Bien sûr Bachet de Méziriac n'a pas le génie mathématique de Pierre de Fermat ; cependant le jugement de ce dernier n'est pas équitable. Bachet ne peut avoir copié sa méthode chez Cardan, puisque ce dernier n'en dit rien ; l'accusation va trop loin.
Rappelons que l'édition des " Problèmes plaisants… ", " revue, simplifiée et augmentée " par A. Labosne, Paris 1876, 1879 (rééditée récemment par les Editions Albert Blanchard, Paris), si elle complète la seconde édition de Bachet de Méziriac, en ce qui concerne notamment les carrés magiques, fait l'impasse sur toute une partie mathématique théorique, sans doute dépassée, mais que l'auteur considérait certainement comme essentielle.
Précisons que c'est à Bachet de Méziriac que revient également la paternité, entre autres, du théorème qui devrait porter uniquement son nom : " Tout nombre est ou bien un carré, ou bien composé de deux, trois ou quatre carrés ". Par ailleurs Bachet est l'auteur d'une méthode de résolution des équations indéterminées du premier degré (équations diophantiennes, en nombres entiers)
Bachet de Méziriac est sans aucun doute injustement tombé dans l'oubli. L'humaniste dépasse et étouffe quelque peu le mathématicien, ce dernier restant aux dires des spécialistes, aux origines d'un secteur des mathématiques de diffusion restreinte, la Théorie des nombres.

D'après Claude Georges Collet et Jean Itard, " Un mathématicien humaniste, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638) - Revue d'histoire des sciences et de leurs applications - Tome I, N°1, 1947, pp.26-50)
 
http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=bachet
http://serge.mehl.free.fr/chrono/Bachet.html
http://litterature01.chez-alice.fr/Mizeriac/BachetMizeriac.html
  
 Benjamin Franklin eut une existence bien remplie, comme homme politique et homme de science. Né à Boston (Nouvelle Angleterre) en 1706, il entra très jeune dans la vie active, exerçant divers métiers, fabricant de chandelles chez son père, coutelier, typographe chez son frère James. Curieux de tout, il ne cessa d'étudier, de se cultiver pendant ses loisirs, s'intéressant en particulier aux sciences physiques et aux mathématiques, en véritable autodidacte. Après un séjour en Angleterre où il se perfectionne dans son métier chez divers imprimeurs, de retour en Amérique il crée sa propre imprimerie, qui prospéra rapidement (1726). Ses préoccupations sociales l'amènent à mettre sur pied tout une série d'institutions publiques, bibliothèques, hôpitaux, une compagnie d'assurance contre l'incendie, un corps de sapeurs-pompiers… ainsi que divers journaux à caractère éducatif, destinés à répandre les principes d'honnêteté et de morale qu'il respecta lui-même toute sa vie, comme par exemple " l'Almanach du Bonhomme Richard " (1732).
Ces diverses activités ne l'empêchèrent pas de faire des études et recherches scientifiques ; il fit de nombreuses découvertes en électricité statique. On lui doit le paratonnerre, les poêles à tuyaux, la " Cheminée de Pensylvanie ". Il fut reçu membre de la Royal Society de Londres, et membre étranger de l'Académie des Sciences de Paris.
Elu député à l'Assemblée de Pensylvanie en 1736, alors que l'Amérique était sous tutelle britannique, il fut envoyé à Londres pour défendre les intérêts des colonies anglo-américaines, et protester contre les lourdes taxes auxquelles elles étaient assujetties. Il fit partie de la fameuse Commission qui proposa au Congrès la déclaration d'indépendance des U.S.A. (2 juillet 1776).
Entre temps il avait été nommé Directeur des Postes de Pensylvanie, puis Directeur Général des Postes d'Amérique.
Il fut chargé de négocier l'aide de la France, de l'Espagne, des Pays-Bas, lors de la guerre entreprise par l'Angleterre contre les " insurgents " des colonies anglaises d'Amérique du Nord (Guerre dite de l'Indépendance, 1775-1782). On connaît la suite, notamment le départ de M. de Lafayette à la tête d'un corps de volontaires, ceci malgré l'opposition du roi, pour aller prêter main-forte aux " insurgents ". Cette initiative, conjuguée avec l'action de Benjamin Franklin, contribua à officialiser l'aide européenne aux Etats d'Amérique.
Benjamin Franklin séjourna à différentes reprises à Londres, ainsi qu'en France, résidant à Passy. Il est décédé à Philadelphie à l'âge de 84 ans. Il a écrit ses "Mémoires ", qui furent complétés par son petit-fils. Son ouvrage " La science du Bonhomme Richard " a fait l'objet de nombreuses éditions. De nombreuses villes des Etats Unis sont dénommées " Franklin " en l'honneur de Benjamin Franklin..
Benjamin Franklin s'est intéressé aux carrés magiques, dans les années 1736-1737, lorsqu'il était à l'Assemblée de pensylvanie, et en a donné une méthode de construction originale. Il a raconté lui-même, dans ses " Letters and papers on philosophical subjects ", Londres 1769, l'anecdote résumée ci-après, d'après Andrews (1960,pp.89-112) :
Au cours d'un séjour à la campagne chez un de ses amis nommé Logan, Benjamin Franklin eut l'occasion de voir l'ouvrage de Frénicle : " Des Quarrez Magiques ". Son hôte lui fit remarquer qu'aucun anglais ne semblait s'être intéressé à ce genre de problèmes. L'américain de répliquer qu'il y voyait là une preuve de bon sens : les mathématiciens sérieux n'avaient pas de temps à perdre à ces bagatelles sans applications concrètes ! A quoi Logan rétorqua : " Certaines des recherches anglaises me semblent tout aussi nuageuses ". De fil en aiguille, B. Franklin confessa qu'il s'était intéressé dans sa jeunesse aux carrés magiques, et qu'il avait trouvé une méthode de construction si aisée qu'on pouvait " remplir les cases d'une grille aussi rapidement que le permettait le mouvement de la plume qui écrit les chiffres ! ". Lors d'une autre visite, l'américain montra à Logan, comment construire un carré d'ordre huit. Celui-ci lui ayant demandé son avis sur un carré d'ordre seize publié en 1544 par le mathématicien Michael Stifel, Benjamin Franklin promit de faire mieux. Le lendemain Logan reçut le travail de Benjamin Franklin et en fut littéralement émerveillé .
 
http://library.thinkquest.org/22254/lehome.htm
http://www.histoire.org/scriptmani/dali3.html
  

Morris Philip, fils d'immigrants hongrois - son père était " rabbi " - né au début du siècle, quitta l'école vers 12 ans pour entrer dans la vie active, exerçant divers métiers, pour ensuite entrer dans une usine de tricotage, ce qui devait décider de son avenir. Autodidacte, il se perfectionna dans son métier, en mécanique, ainsi qu'en mathématiques. Ce fut un inventeur fécond, non seulement dans le tricotage ( 26 brevets), mais dans bien d'autres domaines ( plus de cent brevets au total). Il devint rapidement le directeur de l 'usine de tricotage qui l'employait, avant de créer sa propre entreprise, " Philip Knitting Mills " en 1935, dans le Bronx. Considéré comme " un mathématicien de génie, un brillant inventeur et un industriel à qui tout réussit ", M. Philip fut un partenaire efficace des Universités américaineshttp://www.jct.ac.il/science/MorrisPhilip/index.html

(D'après Jim Moran - The Wonders of Magic Squares - 1982 )
  http://www.jct.ac.il/science/MorrisPhilip/index.html  
Michael Stifel (1487-1567) : On attribue souvent l'invention des carrés magiques à enceintes, ou à bordures, à Bernard Frénicle de Bessy (1693), ou même à Blaise Pascal (1654).
En réalité ce type de carré magique, qui a suscité de nombreuses études et méthodes de construction, a été présenté pour la première fois en Occident par Michael Stifel dans son ouvrage :Michaelis Stifelii - Arithmetica integra - Norimbergae (Nuremberg) Jo. Petreius, in4°, 1544, donc bien antérieurement aux travaux de Frénicle et de Pascal.
Cependant on trouve une méthode de construction des carrés magiques à enceintes d'ordre pair et impair, dans le Traité de l'arabe El-Bouni (+1225), qui a été analysé par Carra de Vaux (1947). Les carrés magiques à enceintes étaient donc connus dans les pays arabes et sans doute en Orient (Perse) bien avant Michael Stifel.
Le personnage mérite qu'on lui consacre quelques lignes. Ancien moine augustin, ayant adopté les thèses de Martin Luther(1517), M. Stifel fut pasteur dans divers villages de Saxe. C'était un excellent mathématicien et algébriste. On lui doit entre autres l'emploi des lettres de l'alphabet pour exprimer des quantités inconnues ; il inventa les signes + et - ; simplifia l'écriture du produit a x b en ab, etc…
Michael Stifel a signalé les propriétés de deux progressions, l'une arithmétique, l'autre géométrique, se correspondant terme à terme ; mais il n'eut pas l'idée de remplir de nombres tous les intervalles de la progression géométrique et de chercher leurs correspondants dans la progression arithmétique. Il aurait pu découvrir les logarithmes : c'est ce que fit Neper en 1614.
Il fut un précurseur en numérologie, et c'est là sans doute un aspect insolite de sa personnalité. Son alphabet numérique, utilisant pour caractériser les lettres de l'alphabet latin, la suite des nombres triangulaires, est encore en usage parmi les numérologues modernes. Ainsi, racontent ses biographes, Michel Stifel étant alors pasteur à Holtsdorf, près de Wittemberg ( c'est aux portes de l'église du château de Wittemberg, rappelons-le, que Martin Luther afficha , le 31 octobre 1517, ses 95 thèses rédigées en latin, qui marquent le début de la Réforme), ayant interprété certains versets des Ecritures à l'aide de son alphabet numérique, prédit que la fin du monde était pour l'an 1532 ou au plus tard pour 1533 ! Rien ne se passa en 1532. Cependant Michael Stifel confirmant sa prédiction pour 1533, réunit au jour dit ses ouailles - dont certaines avaient quitté tout travail pour ne songer qu'à s'amuser et profiter des derniers temps qui leur restaient sur cette terre - et monta en chaire pour exhorter ses auditeurs à se tenir prêt, à se repentir, etc… ! " Un orage qui éclata fut regardé un temps comme le prélude au jugement dernier ; mais bientôt le tonnerre et les éclairs firent place à un ciel bleu et serein, et les paysans d'Holtsdorf, furieux d'avoir été trompés, s'emparèrent du faux prophète et le conduisirent à Wittemberg où il fut mis en prison ! Martin Luther intervint alors pour le faire relâcher ". Michael Stifel persista dans ses vaines prédictions d'année en année, jusqu'à sa mort (1567).
La Méthode de construction des carrés magiques à enceintes de Michael Stifel, a été analysée notamment par M. Fontès (1895). 
 
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Stifel.html
http://unterkunft.wittenberg.de/e/seiten/personen/stifel.html
http://www.w-volk.de/museum/well01.htm
  
Euler, Leonhard (1707-1783), mathématicien suisse, physicien, ingénieur et philosophe, l'un des fondateurs des méthodes de calcul différentiel et intégral. Son œuvre principale se situe dans le domaine des mathématiques, un domaine dont il fut l'un des fondateurs. Euler naquit à Bâle et y suivit à l'université les cours du mathématicien suisse Jean Ier Bernoulli, obtenant sa maîtrise à l'âge de seize ans. En 1727, sur l'invitation de Catherine Ire, impératrice de Russie, Euler devint membre de la faculté de l'Académie des sciences à Saint-Pétersbourg. Il fut nommé professeur de physique, en 1730, et professeur de mathématiques, en 1733. En 1741, il devint professeur de mathématiques à l'Académie des sciences de Berlin sous l'impulsion du roi de Prusse, Frédéric le Grand. Euler retourna à Saint-Pétersbourg en 1766, et y resta jusqu'à sa mort. Bien que handicapé avant l'âge de trente ans par une perte partielle de la vue et plus tard par une cécité quasi totale, Euler réalisa de nombreux travaux mathématiques importants et des centaines de mémoires mathématiques et scientifiques.
Dans son Introduction à l'analyse des infiniment petits (1748), Euler fut le premier à traiter de manière analytique et complète l'algèbre, la théorie des équations, la trigonométrie et la géométrie analytique. Dans ce travail, il traita le sujet du développement des séries de fonctions et formula la règle selon laquelle seules les séries infinies convergentes pouvaient être correctement évaluées. Il discuta aussi des surfaces à trois dimensions et prouva que les sections coniques sont représentées par l'équation générale du second degré à deux dimensions. D'autres travaux traitent du calcul, dont le calcul des variations, la théorie des nombres, les nombres imaginaires et l'algèbre déterminée et indéterminée. Euler apporta ses contributions dans les domaines de l'astronomie, de la mécanique, de l'optique et de l'acoustique. Ingénieur, il est l'inventeur de la première turbine. Parmi ses travaux, il faut citer Introduction à l'analyse des infiniment petits (1748), Réflexions sur l'espace et le temps (1748), Traité du calcul différentiel (1755), Établissement du calcul intégral (1768-1770), Introduction à la théorie de la nature (1755-1759) et Introduction à l'algèbre (1770).
Dans ses Lettres à une princesse d'Allemagne (1768 et 1772), il se révèle également philosophe, et combat les thèses de Christian Wolff et de G.W. Leibniz. Il se consacra également à la syllogistique d'Aristote, qu'il tenta de formaliser avec des cercles, qui annoncent les diagrammes de Venn, et à l'étude de la marche du cavalier au jeu d'échecs.
  http://www.al.lu/euler/eulerbio.shtml