|
 
|
| Les livres | Sommaire des livres | Quelques Critiques |
|
|
|
Les Carrés Magiques : Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles | |
|
L'origine du carré magique est si ancienne qu'elle se confond avec une légende chinoise quatre fois millénaire. Autant dire que la fascination qu'exercent sur nous les carrés magiques a traversé les époques aussi bien que les frontières. Ce qualificatif de magique que leur a conservé la tradition occidentale leur vient du Moyen Âge - on leur attribuait alors des propriétés surnaturelles. Depuis, le jeu comme la raison l'ont emporté sur les interprétations cabalistiques. Toutefois, loin d'avoir livré les clés de tous leurs mystères, les carrés magiques et leurs nombreuses variétés repoussent continuellement les limites de la recherche mathématique. Aujourd'hui, ils constituent de nouveaux défis, notamment pour les algébristes ou pour le calcul scientifique sur ordinateur. Spécialiste du sujet, René Descombes a rassemblé ici tous les éléments dont est faite l'histoire de ces étranges grilles numériques. Après l'apport de Dùrer et des hommes de la Renaissance à la science des carrés magiques, l'auteur nous en révèle un autre, déterminant celui des mathématiciens (parmi lesquels figurent notamment... Pascal, Fermat, Gauss et Euler). Dans ce domaine-là, de nombreuses questions demeurent posées elles font d'ailleurs l'objet des recherches actuelles. On trouvera ici la description, l'analyse et la classification des différentes sortes de carrés magiques. De surcroît l'auteur y expose, très clairement, les méthodes de construction des carrés, plusieurs centaines d'exemples concrets à l'appui.On dispose ainsi d'un livre complet historique, théorique et pratique. Les Carrés Magiques, Editions Vuibert, 2000, ISBN 2711752615 |
 |
POUR COMMANDER LE LIVRE: amazon.fr |
;){kind=link}
;){kind=link}
 |
La magie du carré : Le carré dans tous ses éclats |
|
LE CARRE DANS TOUS SES ECLATS suit de près LES CARRES MAGIQUES. Il s’agit cette fois d’une de série de questions et de problèmes, inventés ou compilés et développés par l’auteur, intéressant le carré sous toutes ses formes et ses «éclats», géométriques, algébri-ques, arithmétiques, historiques, géographiques, magiques … ou imaginaires. Un vrai panier de carrés de différentes grandeurs, et de «contenus» variés, chiffres, lettres, symboles, que le lecteur peut choisir en toute liberté, les chapitres étant indépendants les uns des autres. Mais un chapitre étant choisi, il y a tout intérêt à aller jusqu’au bout, quitte à s’accrocher un peu ! Savez-vous qu’Eratosthène fut le premier à «mesurer la Terre» au IIème siècle avant notre ère ? Il trouva 250 000 stades, soit (500)2 pour le tour de la Terre suivant un méridien ! Savez-vous que dans une petite grille carrée de 9 cases, on peut disposer 4 pions de 126 façons différentes ? Connaissez-vous les «mosaïques magiques» ? Parmi les 880 carrés magiques normaux d’ordre n = 4, il y a seulement 8 types différents de mosaïques magiques, soit un peu moins de 1%. Et parmi les 275 millions de carrés magiques normaux d’ordre n = 5, il n’y a que 721 types différents de mosaïques magiques, soit 0, 00026 % ! Amusez-vous à compter tous les carrés possibles dans une grille d’ordre n = 10 dont vous aurez tracé toutes les diagonales : vous trouverez N =1050 ! Et alors trouvez une formule N = f ( n ) pour dénombrer ces carrés ? Savez-vous que les parcours du cavalier sur l’échiquier de 64 cases sont innombrables ? Une centaine sont «semi-magiques» ; on n’en a pas trouvé de «magiques» jusqu’à présent. Peut-être saurez-vous combler cette lacune, et atteindre ainsi la célébrité ? Vous passerez des heures passionnantes en compagnie de l’auteur, avec ces carrés omniprésents et obsessionnels plus ou moins insolites, mais toujours bien réels. Et vous retrouverez aussi quelques «Carrés Magiques» ! La magie du carré, Editions Vuibert, 2004, ISBN 2711755255 |
|
|
POUR COMMANDER CE NOUVEAU LIVRE: amazon.fr |
;){kind=link}
;){kind=link}
|
|
Tous les mathématiciens ont, un jour ou l'autre, succombé
au charme des lignes et colonnes des carrés magiques: de
Pascal à Euler, de Fermat à Gauss, en passant par
cette étonnante octogénaire qu'est Miss Ollerenshaw
(voir Sciences et Avenir n' 622). Ces casse-tête, tout au
long de leurs quatre millénaires d'existence, ont été
déclinés sous plusieurs formes et quantité
d'avatars en ont été élaborés par
des esprits curieux autant que patients. René Descombes
fait le tour de la question dans un livre rempli à ras
bord de problèmes et d'anecdotes. Au total, c'est donc
un ouvrage, comment dire, très... carré.
Sciences et Avenir - Mai 2000
Il s'agit d'une vraie " somme ", regroupant en 35
rubriques quelque 250 études. Elles couvrent tous les types
de carrés magiques et les constructions les plus classiques,
apparues au fil des siècles.
Chemin faisant, on y retrouve marginalement de jolis problèmes
classiques : le voleur de bouteilles (Bachet), l'armée
fantastique d'Harold le Saxon, les meurtres en série de
Sing Sing, ... et des problèmes plus originaux : route
en chaînettes pour des déplacements avec des roues
carrées, carrés magiques érigés en
mobiles de Calder...
Il y a aussi deux intéressants chapitres sur " Le
carré au point de vue mathématique " et sur
des " Pavages " de carrés, rectangles, ... ainsi
que des extensions des carrés magiques à d'autres
figures magiques (cercles, cubes…).
L'ensemble, illustré de nombreux dessins, se lit bien,
avec un intérêt toujours soutenu, sans cesse ravivé.
La Bibliographie (12 pages) est dans l'ordre chronologique (je
note que l'auteur, au fil des pages, cite ses sources). On trouvera,
de plus, trois programmes informatiques, un tableau résumé
de méthodes de construction, un glossaire et des rappels
de formules mathématiques.
On ne saurait, me semble-t-il, trouver mieux.
Henri BAREIL - Bulletin de Association des
Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public -
n°427 - Mars-Avril 2000.
L'un des thèmes majeurs des mathématiques
récréatives est celui des carrés magiques.
Nés probablement en Chine (une origine égyptienne
ou grecque semble plus hypathétique), ils ont inspiré
les mathématiciens perses, arabes, byzantins, puis occidentaux,
sins parler des alchimistes qui ont essayé de les intégrer
a leurs pratiques.
Le livre de René Descombes tente de faire le tour de la
question, tâche ambitieuse étant donné le
nombre d'ouvrages déjà parus sur le sujet. La classification
des carrés magiques et l'inventaire des méthodes
de construction tendent à l'exhaustivité. L'auteur
présente les carrés latins et les carrés
gréco-latins ou eulériens, les carrés magiques
"associés", dont les cases symétriques
par rapport au centre portent des nombres complémentaires,
les carrés diaboliques, les carrés bimagiques, les
carrés à quartiers égaux, les carrés
dits "à enceintes", les carrés multiplicatifs,
etc…. Parmi les méthodes de construction évoquées,
on trouve la méthode de Bachet, celle du cavalier d'Euler,
d'Arnault, de De la Hire, de Strachey, de Benjamin Franklin, la
méthode d'El Bouni pour les carrés à enceintes…
Sont également abordées les figures magiques autres
que le carré : rectangles magiques, cercles magiques, cubes
magiques.
René Descombes donne aussi quelques "clés mathématiques"
utiles à l'amateur désireux de se lancer dans l'étude
des carrés ou des figures magiques : calcul de la somme
des termes d'une progression arithmétique, de la somme
des carrés ou des cubes des premiers entiers naturels.
Le lecteur trouvera également quelques notions de combinatoire
: permutations, arrangements, combinaisons, ainsi que le b.a.-ba
de la théorie des congruences.
L'histoire des carrés magiques n'est Pas présentée
de façon linéaire, mais intervient dans tout l'ouvrage,
à chaque fois qu'une nouvelle notion ou une nouvelle méthode
est abordée. De larges extraits ou fac-similés d'ouvrages
anciens agrémentent le propos de l'auteur.
Deux reproches toutefois. Le premier est l'absence d'index des
noms cités. On trouve simplement un glossaire de 26 expressions
concernant les carrés magiques, avant une bibliographie
chronologique, qui contient plus d'une centaine de références
de livres et d'articles sur le sujet, et une douzaine de sites
Internet. Le second est le caractère touffu de l'ouvrage,
qui compte presque 500 pages. L'auteur a, semble-t-il, tenu à
inclure des sujets qui n'ont q'un lien assez lointain avec les
carrés magiques: les jeux de plateau, les polyminos et
les problèmes de pavage, par exemple. Sans doute eut-il
mieux valu réserver ces développements à
d'autres ouvrages. Un tableau résumé des méthodes
de construction présentées pour les carrés
de différents ordres tente de corriger ce défaut,
mais il aurait gagné à être complété
par un tableau chronologique situant dans le temps les études
réalisées sur le sujet.
Saluons toutefois la somme de travail qu'a représentée
cet ouvrage qui, à condition de passer un peu de temps
à le découvrir, sera une référence
utile à tous les amateurs de ce passe-temps passionnément
inutile.
Michel CRITON - La Recherche - Mai 2000
Dans cet ouvrage, on trouve la description, l'analyse et la
classification des différentes sortes de carrés
magiques. De surcroît l'auteur y expose trè clairement,
les méthodes de contruction des carrés, plusieurs
centaines d'exemples concrets à l'appui. On dispose ainsi
d'un livre complet: historique, théorique et pratique.
Ecole Supérieure d'Agriculture d'Anger
- Janvier/Février 2000
L'ouvrage regroupe en 38 rubriques 250 études portant sur tous les types de carrés magiques et les constructions les plus classiques apparues au fil des siècles.
L'auteur familiarise le lecteur avec les conventions, présente les carrés latins, les carrés eulériens ou gréco-latins, avant d'aborder le carré au point de vue mathématique (propriétés remarquables du carré algébrique ou géométrique). Après un détour par les pavages sont présentées les propriétés mathématiques des carrés magiques.
Ensuite sont proposées plusieurs méthodes de construction de ces grilles numériques telles que les carrés magiques d'ordre impair ou d'ordre pair, les carrés magiques associés, les bimagiques et les magiques jumeaux, les hypermagiques et les mosaïques, des carrés magiques particuliers comme les carrés magiques en progression arithmétique ou impairement pairs ou encore à enceintes accompagnés des divers procédés de construction...
Les derniers chapitres sont occupés d'abord par la présentation de carrés magiques de plus en plus complexes (carrés magiques multiplicatifs, carrés magiques en progression non régulière) puis par des extensions aux cercles magiques, aux dominos magiques, aux jeux de grille (jeux de société, nombres croisés... ), aux cubes magiques et enfin à des programmes informatique de construction de carrés magiques.
Dans un des derniers chapitres sont rappelés des formules mathématiques utiles dans certaines méthodes de construction des carrés magiques telles que le nombre d'arrangements ou de permutations, la somme d'une progression arithmétique ou géométrique.
Publimath : Banque de données bibliographiques sur l'enseignement des mathématiques
|
|
|
|
1 Présentation générale et conventions. 1.1 Introduction 1.2 Repérage des cases. 1.3 Déplacements dans une grille. 2 Les carrés latins. 2.1 Généralités. 2.2 Carré latin normal d'ordre 3. 2.3 Les carrés latins normalisés. 2.4 Construction des carrés latins d'ordre impair. 2.5 Application aux carrés latins d'ordre pair. 2.6 Construction d'un carré latin diagonal d'ordre n =4 2.7 Le carré latin des sept couleurs de Sir Ronald Fischer 2.8 Une remarque fructueuse ! 2.9 Un " tapis " générateur de carrés latins ! 2.10 Un carré latin " à compartiments " 2.11 Carré latin des inverses de nombres premiers. 3 Les carrés eulériens ou gréco-latins. 3.1 Définitions 3.2 Les carrés latins orthogonaux. 3.3 Carré latin auto-orthogonal. 3.4 Condition pour que deux carrés latins réguliers soient orthogonaux. 3.5 Le problème des 36 officiers. 4 Le Carré au point de vue mathématique 4.1 Le carré, nombre figuré. 4.2 Propriétés arithmétiques et algébriques du carré. 4.3 Quelques problèmes particuliers de carrés. 4.4 Considérations sur la table des carrés. 4.5 A propos de quelques nombres particuliers. 4.6 Une découverte scandaleuse ! 4.7 La " quadrature " du carré. 4.8 La quadrature du rectangle. 4.9 La quadrature de la lunule 4.10 Le carré et le Théorème de Pythagore 4.11 Le Théorème de Thébault. 4.12 Le carré et le nombre d'or 4.13 Le carré à l'origine du pentagone 4.14 Les spirales géométriques 4.15 La volute 4.16 Un carré invraisemblable : l'armée fantastique d'Harold ! 4.17 La roue carrée ! 4.18 Pour terminer ce chapitre : le Carré et le chiffre " quatre " 5 Pavages 5.1 Définitions 5.2 Les Carrés parfaits 5.3 Les carrés semi-parfaits. 5.4 Les " rectangles parfaits " ou " parfaitement parfaits " 5.5 Le pavage d'un rectangle avec des rectangles. 5.6 Les polyminos/poliominos. 5.6.1 Présentation 5.6.2 Définitions et généralités. 5.6.3 La détermination de l'ordre m d'un polymino nécessite deux opérations : 6 Les carrés magiques. 6.1 Un ancien classement des carrés magiques: les Sceaux Planétaires. 6.2 Une classification simple. 6.3 La Classification de Dudeney pour les carrés d'ordre pair. 6.4 La Classification de Bernard Gervais. 7 Propriétés générales des carrés magiques. 7.1 Propriétés générales 7.2 Le carré d'ordre 2. 7.3 Le carré magique d'ordre 3. Le Lo-Shu ou Carré de Saturne. 7.4 Un problème posé par Bachet de Méziriac (1612) : le casier à bouteilles et le domestique peu scrupuleux. 7.5 Propriétés diverses du carré d'ordre 3. 7.6 Une approche logique du carré magique normal d'ordre n = 3. 7.7 Un problème posé par Bachet de Méziriac (1612). 7.8 Le carré magique multiplicatif d'ordre 3. 7.9 A propos du carré d'ordre 3 7.9.1 Les six carrés mystérieux ! 7.9.2 Un petit problème: 7.9.3 Un casse-tête arithmétique. 7.9.4 Le corps de garde. 7.9.5 Une courbe qui remplit complètement le carré 8 Les carrés naturels ou fondamentaux N. 8.1 Généralités 8.2 Propriété générales des carrés naturels. 8.3 Expression de l'élément numérique " a " du Carré Naturel. 8.4 Application du carré fondamental à la construction du carré magique d'ordre 3. 9 Les carrés magiques d'ordre 4. Le Carré de Jupiter. 9.1 Albrecht Dürer et la " Melencolia " 9.2 Une construction simple du " Carré de Dürer ": 9.3 Une propriété générale appliquée aux carrés d'ordre 4 et 5 9.4 A propos du carré d'ordre n = 4 9.4.1 Meurtres en série à Sing Sing ! 9.4.2 Une illusion d'optique. 10 Carré magique d'ordre 5 : un carré diabolique 10.1 Propriétés générales 10.2 Autres propriétés. 10.3 Des carrés magiques d'ordre n = 5 particuliers: 10.3.1 Une concentration des éléments impairs. 10.3.2 Les multiples propriétés des carrés magiques du type " associé " 10.3.3 Les 16 carrés " supermagiques " d'ordre n = 5 11 Les carrés magiques " associés " 11.1 Définitions : Nombres et cases complémentaires 11.2 Carré magique normal dit " associé ". 11.3 Propriétés particulières du carré magique dit " associé " d'ordre impair 12 Les carrés magiques complémentaires 12.1 Définitions 12.2 Les autocomplémentaires d'ordre n = 4 13 Les carrés bimagiques. 13.1 Caractères généraux 13.2 Calcul de la constante bimagique C2. 13.3 Calcul de la constante trimagique . 13.4 Carrés magiques à diagonales n-magiques ! 13.5 Un carré bimagique "à compartiments " 13.6 Un carré bimagique à compartiments très spécial. 13.7 Carrés bimagiques à diagonales (et médianes) trimagiques. 13.8 Des carrés bimagiques à encein 13.9 Remarques sur la bimagie et la trimagie. 13.10 Relations entre Mn, et . 13.11 Les carrés orthomagiques 14 Les carrés magiques à quartiers égaux 14.1 Ordre pair. 14.2 Ordre impair. 15 Les carrés magiques jumeaux. 16 Les carrés " hypermagiques " . 17 Les mosaïques magiques. 17.1 Généralités 17.2 L'exemple du carré magique d'ordre n = 3. 17.3 Le carré magique d'ordre 4. 17.4 Carrés magiques d'ordre 5. 17.5 Les Mosaïques Magiques jumelles d'ordre impair. 17.6 Les Mosaïques Magiques jumelles d'ordre pair. 18 Antimagie 19 La construction des carrés magiques d'ordre impair. 19.1 La Méthode de Bachet de Méziriac. La construction originale. 19.2 La Méthode de De La Hire, dite des horizontales (n impair). 19.3 Méthode dite des diagonales ( n impair ) 19.4 Choix d'un élément dans une case donnée. 19.5 Les méthodes par cheminement régulier (n impair). La Méthode dite du Cavalier d'Echecs. Leonhard Euler 19.5.1 Exposé de la méthode 19.5.2 Les Carrés panmagiques. 19.5.3 Application : Un carré panmagique à trou central ! 19.5.4 Propriétés des carrés panmagiques. 19.5.5 Les Carrés panmagiques et la Géométrie du Tissage. 19.5.6 Remarques pratiques fondamentales. 19.5.7 Relation entre les marches principale et secondaire 19.5.8 La progéniture du Cavalier ! 19.6 Autres méthodes par cheminement régulier. 19.6.1 La Méthode de Bachet de Méziriac (1613) 19.6.2 La Méthode de De La Loubère 19.6.3 Les Méthodes de Moschopoulos. 19.6.4 Séparation des pairs et des impairs, dans un carré magique d'ordre impair. 19.6.5 Carrés magiques d'ordre n premier > 3 : Méthode des carrés latins orthogonaux. 19.6.6 Carrés magiques d'ordre n premier > 3 : Méthode de Fourrey. 20 La construction des carrés magiques d'ordre pair. 20.1 La Méthode de François Spinula (1562) 20.2 La Méthode d'Antoine Arnauld (1667) 20.3 Application du principe de la Méthode d'Arnauld, aux ordres divisibles par 4 ( n = 4k ) 20.4 La Méthode des permutations (n pair) 20.5 La Méthode des horizontales et des verticales ( n pair ) 20.6 Un Carré magique d'ordre n = 6 ( n impairement pair):la méthode des quartiers 20.7 A propos du carré d'ordre n=6 : Un carré original de Morris Philip 20.8 Construction des carrés magiques d'ordre " pairement pair " ( n divisible par 4 ou multiple de 4 ; n = 4 k ) 20.8.1 Méthode de De La Hire 20.8.2 Méthode des nombres complémentaires sur les diagonales. 20.8.3 La méthode des pointages (n divisible par 4 - pairement pair : n = 4k. 20.8.4 Une autre présentation de la Méthode des pointages. Carré d'ordre 4. 20.8.5 La Seconde Méthode de Moschopoulos pour les carrés pairement pairs. 20.8.6 La Méthode de Margossian. 20.8.7 La Méthode des inversions (n = 4 k) 20.8.8 La Méthode " LUX " pour les carrés d'ordre n pair de la forme n = 4k+2 20.8.9 La Méthode par enceintes d'Arnauld (1667) 20.8.10 Exposé de la méthode pour les carrés d'ordre pair. 20.8.11 La progéniture de la Méthode d'Antoine Arnauld. Application au Carré Magique à enceintes d'ordre 10. 20.9 La construction des carrés magiques normaux à compartiments 21 Carrés magiques en progression arithmétique. 21.1 Méthode de Bachet de Méziriac. 21.2 Méthode du Cavalier d'Euler. 21.3 Méthode d'Antoine Arnauld. 21.4 Méthode des pointages. 21.5 Méthode par analogie. 21.6 Les progressions arithmétiques, génératrices de carrés magiques additifs. 21.7 . La " redistribution " des termes du carré primaire: La " Méthode du Canevas Directeur ". 21.8 Des générations de sous-carrés. 21.9 Une généralisation. 22 La Méthode de Benjamin Franklin (1706-1790) 22.1 Exposé de la méthode : Application à un carré d'ordre 8. 22.2 Un émule de Benjamin Franklin : Morris Philip. 22.3 Un carré magique " à grille rectangulaire " 22.4 A propos de l'échiquier de 64 cases : un problème de B. Kordiemsky. 23 La Méthode de Ralph Strachey. 23.1 Carrés d'ordre n = 2(2k+1): n divisible par 2,mais pas par 4. 23.2 Carrés d'ordre n = 4k (" pairement pair ") 23.3 La progéniture de Ralph Strachey ! 23.4 Autres méthodes de construction des carrés d'ordre pair. 24 Carrés impairement pairs (n divisible une seule fois par 2). Méthode de De La Hire 25 Carrés pairs et impairs 25.1 Méthode des carrés latins orthogonaux (n différent de 3 et 6) 25.2 Méthode des carrés latins et eulériens 26 Les carrés magiques à enceintes. 26.1 Généralités - Structure - Exemples 26.2 Construction des carrés magiques à enceintes. Ordre impair. 26.2.1 Première méthode. 26.2.2 Seconde méthode. 26.2.3 Troisième méthode - La Méthode de El-Bouni 26.2.4 Quatrième méthode - La Méthode du Pasteur Dommisse 26.3 Construction des carrés magiques à enceintes. Carrés d'ordre pair. 26.3.1 Caractères généraux 26.3.2 Première méthode : La Méthode de El-Bouni. 26.3.3 Seconde méthode : La Méthode des bordures. 26.4 Carrés magiques de nombres premiers à enceintes. 26.5 Manipulation sur les carrés magiques à enceintes. 27 Une kyrielle de carrés magiques ! 27.1 Un carré magique continu 27.2 Des carrés diaboliques 27.3 Formations diverses 27.4 Les carrés magiques de nombres premiers. 27.5 Les carrés palyndromagiques. 27.6 Carré magique des nombres impairs. 27.7 Carré magique de nombres composés consécutifs. 28 Les progressions géométriques, génératrices de carrés magiques multiplicatifs. 28.1 Remarque préliminaire. 28.2 Une grille en progression géométrique d'ordre 5. 28.3 Représentation algébrique. 28.4 Une généralisation. 28.5 Une démonstration. 28.6 A propos des puissances de 2. 28.7 Carrés magiques multiplicatifs des puissances de 3 et 4. 28.8 Construction pratique des carrés magiques multiplicatifs 28.8.1 Méthode du produit des puissances. 28.8.2 Méthode de B. Kordiemsky pour un carré d'ordre n = 3. 28.8.3 Méthode de B. Kordiemsky pour un carré d'ordre n = 4. 28.9 Carré " magique " multiplicatif de la suite de Fibonacci. 28.10 Carré " alphamagique " 28.11 Les carrés magiques par soustraction et division. 28.12 Carré magique et nombre P. 28.13 Une " grille de mots croisés " pour un carré magique ! 28.14 Calder et les carrés magiques ! 29 Problèmes spécifiques 29.1 Manipulations sur les carrés magiques. Les manip de Bernard Gervais. 29.2 Les manipulations sur les carrés magiques. Les manip d'Achille Rilly. 29.3 La " transposition des cadres " 29.4 Produit de deux carrés magiques. 29.5 La duplication de l'ordre d'un carré magique. La Méthode des quatre carrés. 29.6 Construction d'un carré d'ordre (n+2), à partir d'un carré d'ordre n. La Méthode des bordures de Frénicle. 30 Problèmes divers. 30.1 Fixation a priori de la constante magique. 30.2 Rétablissement de la constante magique normale dans un carré magique à trou. 30.3 Pour terminer ce chapitre : un carré qui n'est pas magique ! 31 Les rectangles magiques 31.1 Généralités 31.2 La construction des rectangles magiques. 32 Les Carrés Magiques en progression non régulière 32.1 Présentation. 32.2 Des carrés magiques non orthodoxes insolites. 32.3 Remarques générales. 32.4 Carrés impairs. Exemple pour un carré d'ordre n = 3. 32.4.1 Les trois termes donnés sont alignés dans la première ligne de la grille de 9 cases. 32.4.2 Les éléments donnés a, b et c, sont placés partie dans la première ligne, partie dans la dernière ligne. 32.4.3 Les éléments donnés a, b, c sont placés dans une diagonale. 32.4.4 Les éléments donnés a, b, c sont placés dans une médiane. 32.4.5 La Méthode de Reichmann pour une grille d'ordre n = 3. 32.5 Carrés impairs. Second exemple pour un carré d'ordre n = 5. 32.5.1 Les éléments donnés, a, b, c, d, e sont placés dans la première ligne. 32.5.2 Les cinq éléments de départ sont placés dans la seconde ligne. 32.5.3 Les éléments donnés au départ sont placés sur une diagonale. 32.5.4 Les éléments donnés sont placés partie dans la première ligne, partie dans la dernière ligne. 32.5.5 Les éléments donnés au départ sont placés dans les deux première lignes. 32.6 Carrés pairement pairs. Exemple d'un carré d'ordre n = 4. 32.6.1 Les quatre éléments donnés sont placés dans la première ligne. 32.6.2 Les 4 éléments donnés sont placés dans la seconde ligne. 32.6.3 Les quatre éléments donnés sont placés mi-partie dans la première ligne, et mi-partie dans la seconde ligne. 32.6.4 Les quatre éléments donnés sont mi-partie dans la première ligne, et mi-partie dans la troisième ligne. 32.6.5 Les quatre éléments donnés sont placés suivant une diagonale. 32.6.6 Les quatre éléments donnés sont placés aux quatre angles. Première solution. 32.6.7 Les quatre éléments sont placés aux quatre angles. Deuxième solution. 32.6.8 Les quatre éléments donnés sont placés au centre. 32.7 Carrés impairement pairs ( n = 6, 10 …) - Exemple du carré d'ordre n = 6. 32.7.1 Les six éléments choisis sont situés dans la première ligne. 32.7.2 Les six éléments choisis sont placés par moitié dans la première ligne et dans la dernière ligne. 33 Les Cercles Magiques 33.1 Présentation 33.2 Méthode de construction. 33.3 Les cercles générateurs de carrés magiques. 34 Les dominos Magiques 34.1 Présentation. 34.2 Un carré d'ordre n = 3. 34.3 Un carré d'ordre n = 4. 34.4 Un Carré d'ordre n = 5. 34.5 Un Carré d'ordre n = 6. 34.6 Un carré d'ordre n = 7. 34.7 Le quadrille de dominos. 35 Les jeux de grilles. 35.1 Les jeux de société 35.2 Le saut du cavalier. 35.3 Nombres croisés et problèmes de grille 36 Les cubes magiques 37 Informatique et Carrés magiques 37.1 Programme BASIC par Ralf Laue 38 Rappel de quelques formules mathématiques 39 Définitions/Glossaire 40 Bibliographie 41 Sites Internet |
Introduction 1 – Problèmes de carrés 2 – La Magie du Carré 3 – Les Grilles 4 – Les Carrés Magiques |