Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
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Les Carrés Magiques : Les livres

Les Carrés Magiques : Histoire, théorie et technique du carré magique,
de l'Antiquité aux recherches actuelles


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L'origine du carré magique est si ancienne qu'elle se confond avec une légende chinoise quatre fois millénaire. Autant dire que la fascination qu'exercent sur nous les carrés magiques a traversé les époques aussi bien que les frontières.
Ce qualificatif de magique que leur a conservé la tradition occidentale leur vient du Moyen Âge - on leur attribuait alors des propriétés surnaturelles. Depuis, le jeu comme la raison l'ont emporté sur les interprétations cabalistiques. Toutefois, loin d'avoir livré les clés de tous leurs mystères, les carrés magiques et leurs nombreuses variétés repoussent continuellement les limites de la recherche mathématique. Aujourd'hui, ils constituent de nouveaux défis, notamment pour les algébristes ou pour le calcul scientifique sur ordinateur. Spécialiste du sujet, René Descombes a rassemblé ici tous les éléments dont est faite l'histoire de ces étranges grilles numériques. Après l'apport de Dùrer et des hommes de la Renaissance à la science des carrés magiques, l'auteur nous en révèle un autre, déterminant celui des mathématiciens (parmi lesquels figurent notamment... Pascal, Fermat, Gauss et Euler). Dans ce domaine-là, de nombreuses questions demeurent posées elles font d'ailleurs l'objet des recherches actuelles.
On trouvera ici la description, l'analyse et la classification des différentes sortes de carrés magiques. De surcroît l'auteur y expose, très clairement, les méthodes de construction des carrés, plusieurs centaines d'exemples concrets à l'appui.On dispose ainsi d'un livre complet historique, théorique et pratique.

Les Carrés Magiques, Editions Vuibert, 2000, ISBN 2711752615
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   Le deuxième livre de R. Descombes est paru:
La magie du carré : Le carré dans tous ses éclats


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LE CARRE DANS TOUS SES ECLATS suit de près LES CARRES MAGIQUES. Il s’agit cette fois d’une de série de questions et de problèmes, inventés ou compilés et développés par l’auteur, intéressant le carré sous toutes ses formes et ses «éclats», géométriques, algébri-ques, arithmétiques, historiques, géographiques, magiques … ou imaginaires. Un vrai panier de carrés de différentes grandeurs, et de «contenus» variés, chiffres, lettres, symboles, que le lecteur peut choisir en toute liberté, les chapitres étant indépendants les uns des autres. Mais un chapitre étant choisi, il y a tout intérêt à aller jusqu’au bout, quitte à s’accrocher un peu ! Savez-vous qu’Eratosthène fut le premier à «mesurer la Terre» au IIème siècle avant notre ère ? Il trouva 250 000 stades, soit (500)2 pour le tour de la Terre suivant un méridien ! Savez-vous que dans une petite grille carrée de 9 cases, on peut disposer 4 pions de 126 façons différentes ? Connaissez-vous les «mosaïques magiques» ? Parmi les 880 carrés magiques normaux d’ordre n = 4, il y a seulement 8 types différents de mosaïques magiques, soit un peu moins de 1%. Et parmi les 275 millions de carrés magiques normaux d’ordre n = 5, il n’y a que 721 types différents de mosaïques magiques, soit 0, 00026 % ! Amusez-vous à compter tous les carrés possibles dans une grille d’ordre n = 10 dont vous aurez tracé toutes les diagonales : vous trouverez N =1050 ! Et alors trouvez une formule N = f ( n ) pour dénombrer ces carrés ? Savez-vous que les parcours du cavalier sur l’échiquier de 64 cases sont innombrables ? Une centaine sont «semi-magiques» ; on n’en a pas trouvé de «magiques» jusqu’à présent. Peut-être saurez-vous combler cette lacune, et atteindre ainsi la célébrité ? Vous passerez des heures passionnantes en compagnie de l’auteur, avec ces carrés omniprésents et obsessionnels plus ou moins insolites, mais toujours bien réels. Et vous retrouverez aussi quelques «Carrés Magiques» !

La magie du carré, Editions Vuibert, 2004, ISBN 2711755255
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Citations Internet

 Citations du Livre "Les Carrés Magiques"
 Editions Vuibert, éditeur du Livre  Résumé
 Banque de données bibliographiques sur l'enseignement des mathématiques  Résumé
 Ecole Plytechnique Fédérale de Lausanne  Catalogue bibliothèque
 Université Pierre et Marie Curie - Jussieu  Dossier Théorème de Fermat
Assocation des Professeurs de Mathématiques  Résumé et Critique
 Université Henri Poincaré - Nancy  Catalogue bibliothèque
   Institut Universitaire de Formation des Maitres de l'Académie de Lyon  Catalogue bibliotèque
 Arizona State University  Bibliographie
   Université Laval  Catalogue bibliotèque
 Centre d'Etude sur les Reformes, l'Humanisme et l'Age Classique  Bibliographie Blaise Pascal
 Bibliothèque Municipale Auxerre   Catalogue bibliotèque
 Foire Aux Questions MATHS  Bibliographie

 

 Quelques Critiques

Tous les mathématiciens ont, un jour ou l'autre, succombé au charme des lignes et colonnes des carrés magiques: de Pascal à Euler, de Fermat à Gauss, en passant par cette étonnante octogénaire qu'est Miss Ollerenshaw (voir Sciences et Avenir n' 622). Ces casse-tête, tout au long de leurs quatre millénaires d'existence, ont été déclinés sous plusieurs formes et quantité d'avatars en ont été élaborés par des esprits curieux autant que patients. René Descombes fait le tour de la question dans un livre rempli à ras bord de problèmes et d'anecdotes. Au total, c'est donc un ouvrage, comment dire, très... carré.
Sciences et Avenir - Mai 2000

Il s'agit d'une vraie " somme ", regroupant en 35 rubriques quelque 250 études. Elles couvrent tous les types de carrés magiques et les constructions les plus classiques, apparues au fil des siècles.
Chemin faisant, on y retrouve marginalement de jolis problèmes classiques : le voleur de bouteilles (Bachet), l'armée fantastique d'Harold le Saxon, les meurtres en série de Sing Sing, ... et des problèmes plus originaux : route en chaînettes pour des déplacements avec des roues carrées, carrés magiques érigés en mobiles de Calder...
Il y a aussi deux intéressants chapitres sur " Le carré au point de vue mathématique " et sur des " Pavages " de carrés, rectangles, ... ainsi que des extensions des carrés magiques à d'autres figures magiques (cercles, cubes…).
L'ensemble, illustré de nombreux dessins, se lit bien, avec un intérêt toujours soutenu, sans cesse ravivé.
La Bibliographie (12 pages) est dans l'ordre chronologique (je note que l'auteur, au fil des pages, cite ses sources). On trouvera, de plus, trois programmes informatiques, un tableau résumé de méthodes de construction, un glossaire et des rappels de formules mathématiques.
On ne saurait, me semble-t-il, trouver mieux.
Henri BAREIL - Bulletin de Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public - n°427 - Mars-Avril 2000.

L'un des thèmes majeurs des mathématiques récréatives est celui des carrés magiques. Nés probablement en Chine (une origine égyptienne ou grecque semble plus hypathétique), ils ont inspiré les mathématiciens perses, arabes, byzantins, puis occidentaux, sins parler des alchimistes qui ont essayé de les intégrer a leurs pratiques.
Le livre de René Descombes tente de faire le tour de la question, tâche ambitieuse étant donné le nombre d'ouvrages déjà parus sur le sujet. La classification des carrés magiques et l'inventaire des méthodes de construction tendent à l'exhaustivité. L'auteur présente les carrés latins et les carrés gréco-latins ou eulériens, les carrés magiques "associés", dont les cases symétriques par rapport au centre portent des nombres complémentaires, les carrés diaboliques, les carrés bimagiques, les carrés à quartiers égaux, les carrés dits "à enceintes", les carrés multiplicatifs, etc…. Parmi les méthodes de construction évoquées, on trouve la méthode de Bachet, celle du cavalier d'Euler, d'Arnault, de De la Hire, de Strachey, de Benjamin Franklin, la méthode d'El Bouni pour les carrés à enceintes… Sont également abordées les figures magiques autres que le carré : rectangles magiques, cercles magiques, cubes magiques.
René Descombes donne aussi quelques "clés mathématiques" utiles à l'amateur désireux de se lancer dans l'étude des carrés ou des figures magiques : calcul de la somme des termes d'une progression arithmétique, de la somme des carrés ou des cubes des premiers entiers naturels. Le lecteur trouvera également quelques notions de combinatoire : permutations, arrangements, combinaisons, ainsi que le b.a.-ba de la théorie des congruences.
L'histoire des carrés magiques n'est Pas présentée de façon linéaire, mais intervient dans tout l'ouvrage, à chaque fois qu'une nouvelle notion ou une nouvelle méthode est abordée. De larges extraits ou fac-similés d'ouvrages anciens agrémentent le propos de l'auteur.
Deux reproches toutefois. Le premier est l'absence d'index des noms cités. On trouve simplement un glossaire de 26 expressions concernant les carrés magiques, avant une bibliographie chronologique, qui contient plus d'une centaine de références de livres et d'articles sur le sujet, et une douzaine de sites Internet. Le second est le caractère touffu de l'ouvrage, qui compte presque 500 pages. L'auteur a, semble-t-il, tenu à inclure des sujets qui n'ont q'un lien assez lointain avec les carrés magiques: les jeux de plateau, les polyminos et les problèmes de pavage, par exemple. Sans doute eut-il mieux valu réserver ces développements à d'autres ouvrages. Un tableau résumé des méthodes de construction présentées pour les carrés de différents ordres tente de corriger ce défaut, mais il aurait gagné à être complété par un tableau chronologique situant dans le temps les études réalisées sur le sujet.
Saluons toutefois la somme de travail qu'a représentée cet ouvrage qui, à condition de passer un peu de temps à le découvrir, sera une référence utile à tous les amateurs de ce passe-temps passionnément inutile.
Michel CRITON - La Recherche - Mai 2000

Dans cet ouvrage, on trouve la description, l'analyse et la classification des différentes sortes de carrés magiques. De surcroît l'auteur y expose trè clairement, les méthodes de contruction des carrés, plusieurs centaines d'exemples concrets à l'appui. On dispose ainsi d'un livre complet: historique, théorique et pratique.
Ecole Supérieure d'Agriculture d'Anger - Janvier/Février 2000

 

 Sommaire des livres
 Les Carrés Magiques
 La Magie du carré
1 Présentation générale et conventions.
1.1 Introduction
1.2 Repérage des cases.
1.3 Déplacements dans une grille.
2 Les carrés latins.
2.1 Généralités.
2.2 Carré latin normal d'ordre 3.
2.3 Les carrés latins normalisés.
2.4 Construction des carrés latins d'ordre impair.
2.5 Application aux carrés latins d'ordre pair.
2.6 Construction d'un carré latin diagonal d'ordre n =4
2.7 Le carré latin des sept couleurs de Sir Ronald Fischer
2.8 Une remarque fructueuse !
2.9 Un " tapis " générateur de carrés latins !
2.10 Un carré latin " à compartiments "
2.11 Carré latin des inverses de nombres premiers.
3 Les carrés eulériens ou gréco-latins.
3.1 Définitions
3.2 Les carrés latins orthogonaux.
3.3 Carré latin auto-orthogonal.
3.4 Condition pour que deux carrés latins réguliers soient orthogonaux.
3.5 Le problème des 36 officiers.
4 Le Carré au point de vue mathématique
4.1 Le carré, nombre figuré.
4.2 Propriétés arithmétiques et algébriques du carré.
4.3 Quelques problèmes particuliers de carrés.
4.4 Considérations sur la table des carrés.
4.5 A propos de quelques nombres particuliers.
4.6 Une découverte scandaleuse !
4.7 La " quadrature " du carré.
4.8 La quadrature du rectangle.
4.9 La quadrature de la lunule
4.10 Le carré et le Théorème de Pythagore
4.11 Le Théorème de Thébault.
4.12 Le carré et le nombre d'or
4.13 Le carré à l'origine du pentagone
4.14 Les spirales géométriques
4.15 La volute
4.16 Un carré invraisemblable : l'armée fantastique d'Harold !
4.17 La roue carrée !
4.18 Pour terminer ce chapitre : le Carré et le chiffre " quatre "
5 Pavages
5.1 Définitions
5.2 Les Carrés parfaits
5.3 Les carrés semi-parfaits.
5.4 Les " rectangles parfaits " ou " parfaitement parfaits "
5.5 Le pavage d'un rectangle avec des rectangles.
5.6 Les polyminos/poliominos.
5.6.1 Présentation
5.6.2 Définitions et généralités.
5.6.3 La détermination de l'ordre m d'un polymino nécessite deux opérations :
6 Les carrés magiques.
6.1 Un ancien classement des carrés magiques: les Sceaux Planétaires.
6.2 Une classification simple.
6.3 La Classification de Dudeney pour les carrés d'ordre pair.
6.4 La Classification de Bernard Gervais.
7 Propriétés générales des carrés magiques.
7.1 Propriétés générales
7.2 Le carré d'ordre 2.
7.3 Le carré magique d'ordre 3. Le Lo-Shu ou Carré de Saturne.
7.4 Un problème posé par Bachet de Méziriac (1612) : le casier à bouteilles et le domestique peu scrupuleux.
7.5 Propriétés diverses du carré d'ordre 3.
7.6 Une approche logique du carré magique normal d'ordre n = 3.
7.7 Un problème posé par Bachet de Méziriac (1612).
7.8 Le carré magique multiplicatif d'ordre 3.
7.9 A propos du carré d'ordre 3
7.9.1 Les six carrés mystérieux !
7.9.2 Un petit problème:
7.9.3 Un casse-tête arithmétique.
7.9.4 Le corps de garde.
7.9.5 Une courbe qui remplit complètement le carré
8 Les carrés naturels ou fondamentaux N.
8.1 Généralités
8.2 Propriété générales des carrés naturels.
8.3 Expression de l'élément numérique " a " du Carré Naturel.
8.4 Application du carré fondamental à la construction du carré magique d'ordre 3.
9 Les carrés magiques d'ordre 4. Le Carré de Jupiter.
9.1 Albrecht Dürer et la " Melencolia "
9.2 Une construction simple du " Carré de Dürer ":
9.3 Une propriété générale appliquée aux carrés d'ordre 4 et 5
9.4 A propos du carré d'ordre n = 4
9.4.1 Meurtres en série à Sing Sing !
9.4.2 Une illusion d'optique.
10 Carré magique d'ordre 5 : un carré diabolique
10.1 Propriétés générales
10.2 Autres propriétés.
10.3 Des carrés magiques d'ordre n = 5 particuliers:
10.3.1 Une concentration des éléments impairs.
10.3.2 Les multiples propriétés des carrés magiques du type " associé "
10.3.3 Les 16 carrés " supermagiques " d'ordre n = 5
11 Les carrés magiques " associés "
11.1 Définitions : Nombres et cases complémentaires
11.2 Carré magique normal dit " associé ".
11.3 Propriétés particulières du carré magique dit " associé " d'ordre impair
12 Les carrés magiques complémentaires
12.1 Définitions
12.2 Les autocomplémentaires d'ordre n = 4
13 Les carrés bimagiques.
13.1 Caractères généraux
13.2 Calcul de la constante bimagique C2.
13.3 Calcul de la constante trimagique .
13.4 Carrés magiques à diagonales n-magiques !
13.5 Un carré bimagique "à compartiments "
13.6 Un carré bimagique à compartiments très spécial.
13.7 Carrés bimagiques à diagonales (et médianes) trimagiques.
13.8 Des carrés bimagiques à encein
13.9 Remarques sur la bimagie et la trimagie.
13.10 Relations entre Mn, et .
13.11 Les carrés orthomagiques
14 Les carrés magiques à quartiers égaux
14.1 Ordre pair.
14.2 Ordre impair.
15 Les carrés magiques jumeaux.
16 Les carrés " hypermagiques " .
17 Les mosaïques magiques.
17.1 Généralités
17.2 L'exemple du carré magique d'ordre n = 3.
17.3 Le carré magique d'ordre 4.
17.4 Carrés magiques d'ordre 5.
17.5 Les Mosaïques Magiques jumelles d'ordre impair.
17.6 Les Mosaïques Magiques jumelles d'ordre pair.
18 Antimagie
19 La construction des carrés magiques d'ordre impair.
19.1 La Méthode de Bachet de Méziriac. La construction originale.
19.2 La Méthode de De La Hire, dite des horizontales (n impair).
19.3 Méthode dite des diagonales ( n impair )
19.4 Choix d'un élément dans une case donnée.
19.5 Les méthodes par cheminement régulier (n impair). La Méthode dite du Cavalier d'Echecs. Leonhard Euler
19.5.1 Exposé de la méthode
19.5.2 Les Carrés panmagiques.
19.5.3 Application : Un carré panmagique à trou central !
19.5.4 Propriétés des carrés panmagiques.
19.5.5 Les Carrés panmagiques et la Géométrie du Tissage.
19.5.6 Remarques pratiques fondamentales.
19.5.7 Relation entre les marches principale et secondaire
19.5.8 La progéniture du Cavalier !
19.6 Autres méthodes par cheminement régulier.
19.6.1 La Méthode de Bachet de Méziriac (1613)
19.6.2 La Méthode de De La Loubère
19.6.3 Les Méthodes de Moschopoulos.
19.6.4 Séparation des pairs et des impairs, dans un carré magique d'ordre impair.
19.6.5 Carrés magiques d'ordre n premier > 3 : Méthode des carrés latins orthogonaux.
19.6.6 Carrés magiques d'ordre n premier > 3 : Méthode de Fourrey.
20 La construction des carrés magiques d'ordre pair.
20.1 La Méthode de François Spinula (1562)
20.2 La Méthode d'Antoine Arnauld (1667)
20.3 Application du principe de la Méthode d'Arnauld, aux ordres divisibles par 4 ( n = 4k )
20.4 La Méthode des permutations (n pair)
20.5 La Méthode des horizontales et des verticales ( n pair )
20.6 Un Carré magique d'ordre n = 6 ( n impairement pair):la méthode des quartiers
20.7 A propos du carré d'ordre n=6 : Un carré original de Morris Philip
20.8 Construction des carrés magiques d'ordre " pairement pair " ( n divisible par 4 ou multiple de 4 ; n = 4 k )
20.8.1 Méthode de De La Hire
20.8.2 Méthode des nombres complémentaires sur les diagonales.
20.8.3 La méthode des pointages (n divisible par 4 - pairement pair : n = 4k.
20.8.4 Une autre présentation de la Méthode des pointages. Carré d'ordre 4.
20.8.5 La Seconde Méthode de Moschopoulos pour les carrés pairement pairs.
20.8.6 La Méthode de Margossian.
20.8.7 La Méthode des inversions (n = 4 k)
20.8.8 La Méthode " LUX " pour les carrés d'ordre n pair de la forme n = 4k+2
20.8.9 La Méthode par enceintes d'Arnauld (1667)
20.8.10 Exposé de la méthode pour les carrés d'ordre pair.
20.8.11 La progéniture de la Méthode d'Antoine Arnauld. Application au Carré Magique à enceintes d'ordre 10.
20.9 La construction des carrés magiques normaux à compartiments
21 Carrés magiques en progression arithmétique.
21.1 Méthode de Bachet de Méziriac.
21.2 Méthode du Cavalier d'Euler.
21.3 Méthode d'Antoine Arnauld.
21.4 Méthode des pointages.
21.5 Méthode par analogie.
21.6 Les progressions arithmétiques, génératrices de carrés magiques additifs.
21.7 . La " redistribution " des termes du carré primaire: La " Méthode du Canevas Directeur ".
21.8 Des générations de sous-carrés.
21.9 Une généralisation.
22 La Méthode de Benjamin Franklin (1706-1790)
22.1 Exposé de la méthode : Application à un carré d'ordre 8.
22.2 Un émule de Benjamin Franklin : Morris Philip.
22.3 Un carré magique " à grille rectangulaire "
22.4 A propos de l'échiquier de 64 cases : un problème de B. Kordiemsky.
23 La Méthode de Ralph Strachey.
23.1 Carrés d'ordre n = 2(2k+1): n divisible par 2,mais pas par 4.
23.2 Carrés d'ordre n = 4k (" pairement pair ")
23.3 La progéniture de Ralph Strachey !
23.4 Autres méthodes de construction des carrés d'ordre pair.
24 Carrés impairement pairs (n divisible une seule fois par 2). Méthode de De La Hire
25 Carrés pairs et impairs
25.1 Méthode des carrés latins orthogonaux (n différent de 3 et 6)
25.2 Méthode des carrés latins et eulériens
26 Les carrés magiques à enceintes.
26.1 Généralités - Structure - Exemples
26.2 Construction des carrés magiques à enceintes. Ordre impair.
26.2.1 Première méthode.
26.2.2 Seconde méthode.
26.2.3 Troisième méthode - La Méthode de El-Bouni
26.2.4 Quatrième méthode - La Méthode du Pasteur Dommisse
26.3 Construction des carrés magiques à enceintes. Carrés d'ordre pair.
26.3.1 Caractères généraux
26.3.2 Première méthode : La Méthode de El-Bouni.
26.3.3 Seconde méthode : La Méthode des bordures.
26.4 Carrés magiques de nombres premiers à enceintes.
26.5 Manipulation sur les carrés magiques à enceintes.
27 Une kyrielle de carrés magiques !
27.1 Un carré magique continu
27.2 Des carrés diaboliques
27.3 Formations diverses
27.4 Les carrés magiques de nombres premiers.
27.5 Les carrés palyndromagiques.
27.6 Carré magique des nombres impairs.
27.7 Carré magique de nombres composés consécutifs.
28 Les progressions géométriques, génératrices de carrés magiques multiplicatifs.
28.1 Remarque préliminaire.
28.2 Une grille en progression géométrique d'ordre 5.
28.3 Représentation algébrique.
28.4 Une généralisation.
28.5 Une démonstration.
28.6 A propos des puissances de 2.
28.7 Carrés magiques multiplicatifs des puissances de 3 et 4.
28.8 Construction pratique des carrés magiques multiplicatifs
28.8.1 Méthode du produit des puissances.
28.8.2 Méthode de B. Kordiemsky pour un carré d'ordre n = 3.
28.8.3 Méthode de B. Kordiemsky pour un carré d'ordre n = 4.
28.9 Carré " magique " multiplicatif de la suite de Fibonacci.
28.10 Carré " alphamagique "
28.11 Les carrés magiques par soustraction et division.
28.12 Carré magique et nombre P.
28.13 Une " grille de mots croisés " pour un carré magique !
28.14 Calder et les carrés magiques !
29 Problèmes spécifiques
29.1 Manipulations sur les carrés magiques. Les manip de Bernard Gervais.
29.2 Les manipulations sur les carrés magiques. Les manip d'Achille Rilly.
29.3 La " transposition des cadres "
29.4 Produit de deux carrés magiques.
29.5 La duplication de l'ordre d'un carré magique. La Méthode des quatre carrés.
29.6 Construction d'un carré d'ordre (n+2), à partir d'un carré d'ordre n. La Méthode des bordures de Frénicle.
30 Problèmes divers.
30.1 Fixation a priori de la constante magique.
30.2 Rétablissement de la constante magique normale dans un carré magique à trou.
30.3 Pour terminer ce chapitre : un carré qui n'est pas magique !
31 Les rectangles magiques
31.1 Généralités
31.2 La construction des rectangles magiques.
32 Les Carrés Magiques en progression non régulière
32.1 Présentation.
32.2 Des carrés magiques non orthodoxes insolites.
32.3 Remarques générales.
32.4 Carrés impairs. Exemple pour un carré d'ordre n = 3.
32.4.1 Les trois termes donnés sont alignés dans la première ligne de la grille de 9 cases.
32.4.2 Les éléments donnés a, b et c, sont placés partie dans la première ligne, partie dans la dernière ligne.
32.4.3 Les éléments donnés a, b, c sont placés dans une diagonale.
32.4.4 Les éléments donnés a, b, c sont placés dans une médiane.
32.4.5 La Méthode de Reichmann pour une grille d'ordre n = 3.
32.5 Carrés impairs. Second exemple pour un carré d'ordre n = 5.
32.5.1 Les éléments donnés, a, b, c, d, e sont placés dans la première ligne.
32.5.2 Les cinq éléments de départ sont placés dans la seconde ligne.
32.5.3 Les éléments donnés au départ sont placés sur une diagonale.
32.5.4 Les éléments donnés sont placés partie dans la première ligne, partie dans la dernière ligne.
32.5.5 Les éléments donnés au départ sont placés dans les deux première lignes.
32.6 Carrés pairement pairs. Exemple d'un carré d'ordre n = 4.
32.6.1 Les quatre éléments donnés sont placés dans la première ligne.
32.6.2 Les 4 éléments donnés sont placés dans la seconde ligne.
32.6.3 Les quatre éléments donnés sont placés mi-partie dans la première ligne, et mi-partie dans la seconde ligne.
32.6.4 Les quatre éléments donnés sont mi-partie dans la première ligne, et mi-partie dans la troisième ligne.
32.6.5 Les quatre éléments donnés sont placés suivant une diagonale.
32.6.6 Les quatre éléments donnés sont placés aux quatre angles. Première solution.
32.6.7 Les quatre éléments sont placés aux quatre angles. Deuxième solution.
32.6.8 Les quatre éléments donnés sont placés au centre.
32.7 Carrés impairement pairs ( n = 6, 10 …) - Exemple du carré d'ordre n = 6.
32.7.1 Les six éléments choisis sont situés dans la première ligne.
32.7.2 Les six éléments choisis sont placés par moitié dans la première ligne et dans la dernière ligne.
33 Les Cercles Magiques
33.1 Présentation
33.2 Méthode de construction.
33.3 Les cercles générateurs de carrés magiques.
34 Les dominos Magiques
34.1 Présentation.
34.2 Un carré d'ordre n = 3.
34.3 Un carré d'ordre n = 4.
34.4 Un Carré d'ordre n = 5.
34.5 Un Carré d'ordre n = 6.
34.6 Un carré d'ordre n = 7.
34.7 Le quadrille de dominos.
35 Les jeux de grilles.
35.1 Les jeux de société
35.2 Le saut du cavalier.
35.3 Nombres croisés et problèmes de grille
36 Les cubes magiques
37 Informatique et Carrés magiques
37.1 Programme BASIC par Ralf Laue
38 Rappel de quelques formules mathématiques
39 Définitions/Glossaire
40 Bibliographie
41 Sites Internet 		Introduction

1 – Problèmes de carrés
Des kyrielles de sommes de carrés…
Le carré bègue
Quel quadrilatère ?
Le facteur du « Quartier Neuf »
Problèmes annexes : Les chemins au travers du lotissement
Un itinéraire complet.
L’évasion du prisonnier
Le carré tournant
Quelle est la superficie du lac ?
Le polygone circonscrit
Le problème du Professeur Vectra
Le Carré et les Nombres Triangulaires
Le carré tétraédrique
Le problème des Carrés de Diophante
Les nombres carrés
Le carré dans l’œuvre de Kasimir Malévitch
La partition du damier
Une application de la partition du damier : un partage équitable
Des alignements de pions.
Les trois pions non alignés
Encore trois pions non alignés.
Les huit pions non alignés
Le problème des douze pions.
Le problèmes des 36 pions au carré
Le jeu des neuf entiers
Les religieuses de la Maladetta.
Les huit cases périphériques
Les carrés mystérieux
Le carré enchanté.
Le sommelier indélicat
L’équidistance du point « P »
La pile carrée de cubes noirs et blancs
Un autre problème de carrés : La boîte carrée de Cunégonde
Un carré inscrit dans un quadrilatère
Le problème de Madame Pythagore !
Un problème annexe : le découpage du pain d’épices.
La brique de Pythagore
Un problème annexe : Le problème des trois carrés.
Le carré de pâte d’amande.
Un carré, deux carrés….
Les deux carrés superposés
Un problème d’aire dans le double carré
Un autre problème sur le double carré.

2 – La Magie du Carré
L’armée de Julien et autres problèmes militaires
L’armée de Julien au carré
La bataille d’Hastings ( 1066 ) et l’armée d’Harold ( p. m. )
Les douze formations de l’armée du Sultan.
La magie des permutations
La magie des permutations circulaires
Les permutations des chiffres décimaux
Les permutations cycliques des nombres de Kaprekar.
Des chiffres te des lettres
La restitution du carré naturel
La géométrie du carré
Le carré à la base de la construction du « Nombre d’Or »
Une application : le carré et la section dorée
Une autre construction du rectangle d’or
Double carré et division harmonique
Le carré à l’origine du pentagone
Le double carré à l’origine du pentagone
Le double carré à l’origine de l’heptagone
Le double carré à l’origine du décagone
La construction de à l’aide du carré
Le carré et la géométrie du compas
Le problème dit de Napoléon : solution en six arcs de cercle
Le problème dit de Napoléon : solution en cinq arcs de cercle
Construire un carré connaissant un côté
Construire un carré connaissant une diagonale
Rectification ou quadrature du cercle : solutions
Quadrature aérolaire du cercle
Découpages et pavages géométriques
Encore un « Problème des trois carrés »
Des découpages en carrés.
Les découpages du carré
Le découpage d’un hexagone en carré
La quadrature des deux morceaux de tapis
La restauration du tapis de parade
Une grille encadrée
Le menuisier économe : Le plateau de table en trois morceaux
Le menuisier économe : Un échiquier dans un plateau de récup !
Un découpage de l’échiquier
Les illusions d’optique du carré
Le jeu des carrés
Un volume de révolution
Un « problème de carré » difficile !
Le pavage d’une bande uniforme indéfinie
Un partage équitable
Le pavage « IQ-Block »
La quadrature des polyminos
La magie des dominos
Le jeu de Lech Pijanowski
Les dominos arithmétiques
Les pavages de dominos
Un jeu de dominos : les dominos encadrés.

3 – Les Grilles
Les chemins de Klingon
Le Carré Naturel
Le carré Naturel
Une application du Carré naturel : Le Crible d’Eratosthène
Une grille visuelle pour le Crible d’Eratosthène.
La spirale carrée de Stanislas Ulam
Une variante du Carré Naturel : le taquin magique.
Le Carré Naturel dans le « Faust » de Goethe.
Les grilles arithmétiques
La table d’addition
Les carrés latins
Les tables de Poséidon
La table de soustraction
La table de multiplication ou Table de Pythagore
Un problème du Dr Googol
Une incursion dans le domaine de « la magie du triangle »
Le jeu du labyrinthe multiplicatif
Le Palais de Minos
A la recherche des itinéraires sur un réseau
Les itinéraires dans une demi grille d’ordre n.
Un escalier numérique
La grille multiplicative
Une grille uniforme !
RAZZIA
Les tables fonctionnelles
La table fonctionnelle type
Une application arithmétique : la table des restes
Une table des couples de nombres premiers entre eux.
Une application à l’analyse combinatoire : la table des combinaisons.
Une application pratique : la vitesse de l’automoteur
Une application théorique : une révolution dans la construction des carrés magiques.
Les hexagrammes du Yi King
A la recherche d’une moyenne
Des lettres et des chiffres
Une grille périphérique : « Le tour du monde »
Le jeu des quatre opérations
Le jeu du Labyrinthe
Le jeu des petits carrés de B. Kordiemsky
Le Jeu de « HIP », ou le Jeu des carrés interdits.
Un parcours orthogonal simple
Hétéromagie – Antimagie
Les carrés multiples
Talisman Squares
Les carrés pochés
Les mots en carré
Croisez, additionnez, multipliez.
Les carrés anallagmatiques d’Edouard Lucas.

4 – Les Carrés Magiques
Diverses méthodes de construction et autres singularités
La Méthode du noyau central
La Méthode des placements décalés
La Méthode des placements successifs
Généralisation de la Méthode des quartiers
La Méthode de Bernard Betourne
Un carré magique normal d’ordre n = 6
Un carré magique d’ordre n = 6 très particulier
Un carré magique de nombres pairs d’ordre n = 4
Construction d’un carré magique d’ordre n = 3 dont on connaît les quatre sommets
La méthode des pointages appliquée à n =4k+2 ( 6, 10, 14…)
Une variante de la méthode des pointages appliquée à n = 16.
Un problème de Carré Magique…
Construction d’un Carré magique connaissant n ; M’n et r.
Les carrés primomagiques
La Méthode de Labosne-Méziriac
Des Carrés magiques insolites
Les Carrés magiques associés
Le fascinant Carré Magique d’Albrecht Dürer
Les carrés magiques normaux à quartiers égaux
Un carré hypermagique d’ordre n = 4
Les carrés à magie conventionnelle
Un carré harmonique d’ordre n = 3
Un carré magique conventionnel d’ordre n = 4
Les carrés distraits d’ordre n = 3
Le carré aux chiffres différents
Les carrés truqués
Un carré antitruqué
Un carré magico-antitruqué
Les carrés enchantés
Les carrés dévoilés de Michel Criton
La Grille du Dr Googol
Un carré magique d’ordre n = 2
Un carré multiplicatif semi magique d’ordre n = 3
Une propriété du Lo Shu
Des combinaisons remarquables
Un cube magique de carrés latins
Une grille invariante.
Les carrés alphamagiques
Les tapis et pavages magiques
Le choix a priori de la constante linéaire d’un carré magique
Les carrés magiques comme talismans
Le cavalier magique