La méthode multiplicative

La relation classique de la division d’un nombre entier a par un nombre entier b est a = b . q + r, q étant le quotient et r le reste.

Posons : a = M’n et b = Mn

Effectuons alors la division : M’n = Mn . q + r

La construction du carré magique de constante M’n à partir d’un carré magique auxiliaire de constante Mn, s’effectue de la manière suivante :

On multiplie chaque terme du carré auxiliaire d’ordre n, par le quotient q, et l’on répartit le reste r sur chaque ligne de cases, c’est-à-dire en augmentant chaque terme de la quantité .

Voici quelques exemples.

Exemple pour n = 3

8

1

6

50

8

38

8

14

20

3

5

7

20

32

44

26

32

38

4

9

2

26

56

14

64

50

56
Carré auxiliaire
Le Lo Shu
M3 = 15
Carré magique
M’3 = 96
Termes en série croissante homogène
(r = 6)

Soit M’3 = 96, On aura : 96 = (15 x 6 ) + 6

On multiplie chaque terme du carré auxiliaire par q = 6, et ensuite on ajoute encore à chaque terme la quantité

Exemple pour n = 4.

1

15

14

4

10

52

49

19

10

13

16

19

12

6

7

9

43

25

28

34

22

25

28

31

8

10

11

5

31

37

40

22

34

37

40

43

13

3

2

16

46

16

13

55

46

49

52

55
Carré auxiliaire
M4= 34
Carré magique
M’4 = 130
Termes en série croissante
homogène
(r = 3)

M’4 = M4 + r avec M4 = 34 et M’4 = 130

130 = ( 34 . 3 ) + 28

Facteur multiplicatif : q = 3 et Facteur additif :

On ne peut pas donner à M’n n’importe quelle valeur si l’on raisonne en nombres entiers : pour permettre la répartition du reste r dans chaque ligne de n cases, ce reste r doit être un multiple de n.

Autre exemple, avec n = 3.

8

1

6

26

5

20

5

8

11

3

5

7

11

17

23

14

17

20

4

9

2

14

29

8

23

26

29
Carré auxiliaire
Le Lo Shu
M3 = 15
Carré magique
M’3 = 51
Termes en série croissante homogène
( r = 3 )

Soit M’3 = 51, On aura : 51 = (15 x 3 ) + 6

Facteur multiplicatif : q = 3  et Facteur additif :

Variante : Au lieu de répartir le reste r sur les n termes de chaque ligne, on peut ajouter ce reste en une seule fois, aux n termes d’une permutation figurée diagonale.

1

15

14

4

3

45

42

40

3

9

15

21

12

6

7

9

36

46

21

27

27

30

33

34

8

10

11

5

52

30

33

15

36

39

40

42

13

3

2

16

39

9

34

48

45

46

48

52
Carré auxiliaire
M4 = 34
Carré magique
M’4 = 130
Termes en série
hétérogène

Facteur multiplicatif : q = 3 et Facteur additif : r = 28

Il y a 8 solutions, qui correspondent aux 8 permutations figurées diagonales d’ordre 4.

On peut alors donner à M’n une valeur quelconque.

. Mais on peut aussi admettre des nombres fractionnaires ou des nombres négatifs dans le carré magique que l’on se propose de construire.

On obtient alors un carré magique avec n’importe quelle valeur de M’n.

Premier exemple.

2

7

6

8 1/3

23 1/3
 20 1/3

5 1/3

8 1/3

11 1/3

9

5

1

29 1/3

17 1/3

5 1/3

14 1/3

17 1/3

20 1/3

4

3

8

14 1/3

11 1/3

26 1/3

23 1/3

26 1/3

29 1/3
Carré auxiliaire
Le Lo Shu
M3 = 15
Carré magique
M’3 = 52
Termes en série croissante homogène
( r = 3 )

Soit M’3 = 52

On aura M’3 = M 3 . q + r ; et 52 = ( 15 x 3 ) + 7

Facteur multiplicatif q = 3 et Facteur additif

Second exemple

2

7

6

1/3

5 1/3
 41/3

-2/3

1/3

1 1/3

9

5

1

7 1/3

3 1/3

- 2/3

2 1/3

3 1/3

4 1/3

4

3

8

2 1/3

1 1/3

6 1/3

5 1/3

6 1/3

7 1/3
Carré auxiliaire
Le Lo Shu
M3 = 15
Carré magique
M’3 = 10
Termes en série croissante homogène
( r = 1 )

On aura M’3 = 10 ; 10 = (15 x 1 ) – 5

Facteur multiplicatif q = 1 ; Facteur additif