Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
LE CHOIX A PRIORI DE LA CONSTANTE LINAIRE MAGIQUE


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GENERALITES   Propriétés 
METHODES GENERALES   Quotient    Multiplicative   Edouard Lucas et Reichmann (n=3)   Permutations fig diagonales   Quotient et reste   Bergholtz et Iermakov (n=4)   Labosne-Méziriac 
METHODES ARABES   nbres base : 1ere ligne   nbres base : 2eme ligne   nbres base : diagonale principale 

La Méthode d’Edouard Lucas Cas de n = 3

 

K + A

K – (A + B)

K + B

K – (A – B)

K

K + (A – B)

K - B
K + (A + B)

K – A

La constante magique choisie M’3, doit être un multiple de 3, soit de la forme M’3 = 3 K.

On choisit alors deux auxiliaires A et B suffisamment petits, et l’on effectue les opérations indiquées par Edouard Lucas dans le tableau ci-dessus.

Le carré numérique obtenu est magique par construction.

Exemple.

M’3 = 63 = 3 x 21 ; K = 21. Soit les auxiliaires A = 3 et B = 4.

24

14

25

63

14

17

18

22

21

20

63

20

21

22

17

28

18

63

24

25

28

63

63

63

63

Suite hétérogène

On remarque dans le tableau littéral comme dans le carré numérique, que tout alignement qui passe par la case centrale, est composée de 3 termes en progression arithmétique. Cette propriété est générale pour tous les carrés magiques d’ordre 3.

Il y a de nombreuses solutions, sous conditions que M’3 soit un multiple de 3, et que, pour le choix des auxiliaires A et B, on ait A + B < K, afin que tous les termes du Carré Magique soient > 0.


La Méthode de Reichmann – Cas de n = 3

Dans cette méthode, donnée par W. J. Reichmann, dans son ouvrage " La fascination des nombres ", Payot 1959, pp. 156-166 (Les Carrés magiques), la constante magique choisie M’3, doit être un multiple de 3, et donc de la forme M’3 = 3 K.

On choisit trois nombres X, Y et Z, tels que X + Y + Z = K

Et l’on effectue les opérations indiquées dans le tableau ci-dessous.

2 X + Y + Z

Z

X + 2 Y + Z

2 Y + Z

X + Y + Z = K

2 X + Z

X + Z

2 X + 2 Y + Z

Y + Z

Exemple.

M’3 = 183 = 3 x 61 ; K = 61

K = X + Y + Z = 5 + 9 + 47 = 61

66

47

70

47

52

56

65

61

57

57

61

65

52

75

56

66

70

75
Carré magique
M’3 = 183
Série hétérogène

Nota. Indépendamment du choix de M’3, la Méthode Reichmann permet de construire un carré magique à partir de trois nombres donnés, X, Y et Z. On aura M’3 = 3 ( X + Y + Z ).