Les Carrés Magiques Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles LE CHOIX A PRIORI DE LA CONSTANTE LINAIRE MAGIQUE

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La Méthode des permutations figurées diagonales

On augmente ou diminue d’un même nombre w les n termes correspondant à une permutation figurée diagonale, tel que w = M’_n - M_n

Nous avons déjà donné des exemples pour n = 4 et n = 5 ( cf. " Généralités ")

Voici un exemple avec n = 6.

Soit M’₆ = 147. Carré auxiliaire M₆ = 111 ; w = 147 – 111 =36

1	35	24	3	32	6		37	35	34	3	32	6		2	3	4	5	6	7
30	8	28	27	11	7		30	8	28	27	47	7		8	10	12	13	14	15
24	23	15	16	14	19		24	59	15	16	14	19		16	17	19	20	21	22
13	17	21	22	20	18		13	17	21	22	20	54		24	25	26	27	28	29
13	26	9	10	29	25		12	26	45	10	29	25		30	31	32	34	35	36
31	2	4	33	5	36		31	2	4	69	5	36		37	45	47	54	59	69
Carré auxiliaire M6 = 111							Carré magique M’6 = 147							Termes en série hétérogène

On peut théoriquement ajouter ou retrancher un même nombre quelconque aux cases ombrées des permutations figurées diagonales d’ordre n = 6 ci-dessus. Mais cette opération ne doit conduire à aucun doublet.

Supposons que l’on se propose d’ajouter w = 10, donc en choisissant M’₆ = 121.On aura alors dans les cases ombrées :

1 + 10 = 11 ; 11 + 10 = 21 ; 23 + 10 = 33

18 + 10 = 28 ; 9 + 10 = 19 ; 33 + 10 = 43

Ce qui donne plusieurs doublets ( 19, 21, 28 ) ; la valeur choisie pour M’₆, et donc w, ne conviennent pas.

Pour être certain de ne pas retomber sur un ou plusieurs termes du carré auxiliaire, le plus petit terme augmenté dans les cases ombrées, doit être plus grand que n² .

Si w est l’augmentation, et p le plus petit terme à augmenter, on doit donc avoir

p + w > n ² ; et donc w > n² – p

Dans notre exemple, on a p = 1 et n² = 36.

Donc w > 36 – 1 et w > 35

La plus petite valeur de w est ainsi 36 ; et la constante magique M’₆ est donc

M’₆ = 111 + 36 = 147

C’est aussi la plus petite valeur de M’₆ que l’on peut choisir. Ce choix comporte donc une limite inférieure spécifique de la permutation figurée diagonale et du carré auxiliaire en cause, donnée par la relation :

M’_n = M_n + n² – p + 1

 

Cas particulier : la constante magique choisie est elle-même un carré.

M’_n est de la forme M’_n = k². Soit pae exemple M’4 = 36 = 6² .

On ajoute la différence w = M’₄ – M₄ = 36 – 34 = 2 aux termes d’une permutation figurée diagonale maximum dans un carré magique normal auxiliaire d’ordre n = 4.

16	7	2	9			18	7	2	9			1	2	3	4
12	3	6	13			12	3	6	15			5	6	7	8
1	14	11	8			1	16	11	8			9	10	11	12
5	10	15	4			5	10	17	4			15	16	17	18
Carré auxiliaire M4 = 34						Carré " magique "  M’4 = 36						Série croissante avec hiatus

C’est l’application de la " Méthode des permutations figurées diagonales " exposée ci-dessus, avec le choix d’une permutation figurée diagonale maximum, qui permet d’éviter sûrement tout doublet, du fait que w est petit.