La Méthode du quotient et du reste

Que se passe-t-il lorsque la différence entre la constante choisie M’_n et la constante M_n du carré magique auxiliaire, n’est pas un multiple de n ? C’est-à-dire lorsque l’on a

= M’n – Mn = [ n . q ] + r

On a vu que l’on est alors contraint d’accepter des nombres fractionnaires pour les termes du carré numérique que l’on construit.

Cependant on peut, après avoir ajouté le quotient q à tous les termes du carré auxiliaire, ajouter le reste r en plus à chaque terme d’une permutation figurée diagonale.

Cette méthode conduit toujours à un carré numérique dont les sommes linéaires sont constantes, et égales à M’_n. Mais ce carré numérique contient souvent des doublets, ce qui est, par définition, incompatible avec un carré magique.

Ainsi par exemple, avec un carré d’ordre n = 4 ; M₄ = 34.

M’₄ = 112 ; M’₄ – M₄ == 112 – 34 = 78 = (1 9 x 4 ) + 2 ; q = 19 et r = 2

Le carré " magique "obtenu comporte un doublet (29) :

Le choix de la permutation figurée diagonale pour l’élimination du ou des doublets est souvent délicat.

Lorsque la permutation figurée diagonale choisie correspond à une permutation figurée diagonale maximum, on est sûr de ne pas avoir de doublets.

C’est le cas dans l’exemple ci-dessous : n = 4 ; avec M’₄ = 112 et M₄ = 34 ; q = 19 ; r = 2.

C’est aussi le cas dans l’exemple ci-dessous, pour n = 5 :

M’₅ = 112 ; M₅ = 65 ; 112 – 65 = 47 = ( 9 x 5 ) + 2 ; q = 9 et r = 2

Il y a un grand choix d’associer, pour un ordre donné n, entre :

• un carré magique auxiliaire de cet ordre n ;
• et les permutations figurées diagonales, ou diagonales maxima, d’ordre n.