Les Carrés Magiques Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles LE CHOIX A PRIORI DE LA CONSTANTE LINAIRE MAGIQUE

	Main MENU			Construction	Carrés associés	Constante linéaire	Biographies		Courrier	Guest
	Liens	Livre		Carré de Durer	Oeuvres d´Art	Jeux de grille	Doc/Objets		Etudes/Logiciels

GENERALITES   Propriétés  METHODES GENERALES   Quotient    Multiplicative   Edouard Lucas et Reichmann (n=3)   Permutations fig diagonales   Quotient et reste   Bergholtz et Iermakov (n=4)   Labosne-Méziriac  METHODES ARABES   nbres base : 1ere ligne   nbres base : 2eme ligne   nbres base : diagonale principale

La Méthode du quotient et du reste

Que se passe-t-il lorsque la différence entre la constante choisie M’_n et la constante M_n du carré magique auxiliaire, n’est pas un multiple de n ? C’est-à-dire lorsque l’on a

= M’n – Mn = [ n . q ] + r

On a vu que l’on est alors contraint d’accepter des nombres fractionnaires pour les termes du carré numérique que l’on construit.

Cependant on peut, après avoir ajouté le quotient q à tous les termes du carré auxiliaire, ajouter le reste r en plus à chaque terme d’une permutation figurée diagonale.

Cette méthode conduit toujours à un carré numérique dont les sommes linéaires sont constantes, et égales à M’_n. Mais ce carré numérique contient souvent des doublets, ce qui est, par définition, incompatible avec un carré magique.

Ainsi par exemple, avec un carré d’ordre n = 4 ; M₄ = 34.

M’₄ = 112 ; M’₄ – M₄ == 112 – 34 = 78 = (1 9 x 4 ) + 2 ; q = 19 et r = 2

Le carré " magique "obtenu comporte un doublet (29) :

16	3	2	13			37	22	21	32			20	21	22	23
5	10	11	8			24	29	30	29			24	26	27	28
9	6	7	12			28	27	26	31			29	29	30	31
4	15	14	1			23	34	35	20			32	34	35	37
Carré auxiliaire 4 = 34						Carré " magique " M M’4 = 112						Série hétérogène avec un doublet (29)

 

Le choix de la permutation figurée diagonale pour l’élimination du ou des doublets est souvent délicat.

Lorsque la permutation figurée diagonale choisie correspond à une permutation figurée diagonale maximum, on est sûr de ne pas avoir de doublets.

C’est le cas dans l’exemple ci-dessous : n = 4 ; avec M’₄ = 112 et M₄ = 34 ; q = 19 ; r = 2.

13	10	7	4			34	29	26	23			20	21	22	23
3	8	9	14			22	27	28	35			24	25	26	27
12	15	2	5			31	36	21	24			28	29	30	31
6	1	16	11			25	20	37	30			34	35	36	37
Carré auxiliaire M4 = 34						Carré " magique " M’4 = 112						Série croissante " à hiatus "

 

C’est aussi le cas dans l’exemple ci-dessous, pour n = 5 :

M’₅ = 112 ; M₅ = 65 ; 112 – 65 = 47 = ( 9 x 5 ) + 2 ; q = 9 et r = 2

5	13	21	9	17		14	22	32	18	26		10	11	12	13	14
24	7	20	3	11		35	16	29	12	20		15	16	17	18	19
18	1	14	22	10		27	10	23	33	19		20	21	22	23	24
12	25	8	16	4		21	36	17	25	13		25	26	27	28	29
6	19	2	15	23		15	28	11	24	34		32	33	34	35	36
Carré auxiliaire M5 = 65						Carré magique M’5=112						Série " à hiatus "

Il y a un grand choix d’associer, pour un ordre donné n, entre :

• un carré magique auxiliaire de cet ordre n ;
• et les permutations figurées diagonales, ou diagonales maxima, d’ordre n.

---

La Méthode des restes

On effectue les opérations suivantes, en nombres entiers :

M’_n = M_n . q + r

r₁ = n . q₁ + r₂

On multiplie par q et on ajoute q₁ à tous les nombres du carré magique auxiliaire, et l’on ajoute en plus le second reste r₂ à chaque nombre d’une permutation figurée diagonale ou diagonale maximum.

Exemple d’ordre n = 4.

Soit M’4 = 126 ; M’ = 34 ; 126 = ( 34 x 3 ) + 24 ; 24 = ( 4 x 5 ) + 4

d’où : q = 3 ; r₁ = 24 ; q₁ = 5 et r₂ = 4

16	3	2	13		53	14	11	44		53	18	11	44		11	12	17	18
5	10	11	8		20	35	38	29		20	35	42	29		20	23	26	29
9	6	7	12		32	23	26	41		36	23	26	41		35	36	41	42
4	15	14	1		17	50	47	8		17	50	47	12		44	47	50	53
Carré auxiliaire					Grille intermédiaire					Carré magique					Série hétérogène

On obtient toujours un carré numérique à somme linéaires constantes ; mais l’élimination des doublets nécessite aussi dans ce cas quelques essais avec différents carrés auxiliaires et différentes permutations figurées diagonales. On peut également avoir ecours à une permutation figurée diagonale maximum.

Exemple d’ordre n = 5.

Soit M’5 = 170 ; m5 = 65 ; 170 = ( 65 x 2 ) + 10 ; 40 = ( 5 x 7 ) + 5

d’où : r₁ = 40 ; q = 2 ; q₁ = 7 ; r₂ = 5

2	17	20	10	16		11	41	47	27	44		9	11	13	15	17
24	19	12	6	4		55	50	31	19	15		19	21	23	25	27
13	15	7	8	22		38	37	21	23	51		29	31	35	37	38
1	11	21	23	9		9	29	54	53	25		41	44	47	48	50
25	3	5	18	14		57	13	17	48	35		51	53	54	55	57
Carré auxiliaire M5 = 65						Carré magique M’5=170						Série hétérogène