Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
LE CHOIX A PRIORI DE LA CONSTANTE LINAIRE MAGIQUE


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GENERALITES   Propriétés 
METHODES GENERALES   Quotient    Multiplicative   Edouard Lucas et Reichmann (n=3)   Permutations fig diagonales   Quotient et reste   Bergholtz et Iermakov (n=4)   Labosne-Méziriac 
METHODES ARABES   nbres base : 1ere ligne   nbres base : 2eme ligne   nbres base : diagonale principale 

La Méthode du quotient et du reste

Que se passe-t-il lorsque la différence entre la constante choisie M’n et la constante Mn du carré magique auxiliaire, n’est pas un multiple de n ? C’est-à-dire lorsque l’on a

= M’n – Mn = [ n . q ] + r

On a vu que l’on est alors contraint d’accepter des nombres fractionnaires pour les termes du carré numérique que l’on construit.

Cependant on peut, après avoir ajouté le quotient q à tous les termes du carré auxiliaire, ajouter le reste r en plus à chaque terme d’une permutation figurée diagonale.

Cette méthode conduit toujours à un carré numérique dont les sommes linéaires sont constantes, et égales à M’n. Mais ce carré numérique contient souvent des doublets, ce qui est, par définition, incompatible avec un carré magique.

Ainsi par exemple, avec un carré d’ordre n = 4 ; M4 = 34.

M’4 = 112 ; M’4 – M4 == 112 – 34 = 78 = (1 9 x 4 ) + 2 ; q = 19 et r = 2

Le carré " magique "obtenu comporte un doublet (29) :

16

3

2

13

37

22

21

32

20

21

22

23

5

10

11

8

24

29

30

29

24

26

27

28

9

6

7

12

28

27

26

31

29

29

30

31

4

15

14

1

23

34

35

20

32

34

35

37
Carré auxiliaire
4 = 34
Carré " magique "
M M’4 = 112
Série hétérogène avec un doublet
(29)

 

Le choix de la permutation figurée diagonale pour l’élimination du ou des doublets est souvent délicat.

Lorsque la permutation figurée diagonale choisie correspond à une permutation figurée diagonale maximum, on est sûr de ne pas avoir de doublets.

C’est le cas dans l’exemple ci-dessous : n = 4 ; avec M’4 = 112 et M4 = 34 ; q = 19 ; r = 2.

13

10

7

4

34

29

26

23

20

21

22

23

3

8

9

14

22

27

28

35

24

25

26

27

12

15

2

5

31

36

21

24

28

29

30

31

6

1

16

11

25

20

37

30

34

35

36

37
Carré auxiliaire
M4 = 34
Carré " magique "
M’4 = 112
Série croissante " à hiatus "

 

C’est aussi le cas dans l’exemple ci-dessous, pour n = 5 :

M’5 = 112 ; M5 = 65 ; 112 – 65 = 47 = ( 9 x 5 ) + 2 ; q = 9 et r = 2

5 13 21 9 17 14 22 32 18 26 10 11 12 13 14
24 7 20 3 11 35 16 29 12 20 15 16 17 18 19
18 1 14 22 10 27 10 23 33 19 20 21 22 23 24
12 25 8 16 4 21 36 17 25 13 25 26 27 28 29
6 19 2 15 23 15 28 11 24 34 32 33 34 35 36
Carré auxiliaire
M5 = 65
Carré magique
M’5=112
Série " à hiatus "

Il y a un grand choix d’associer, pour un ordre donné n, entre :


La Méthode des restes

On effectue les opérations suivantes, en nombres entiers :

M’n = Mn . q + r

r1 = n . q1 + r2

On multiplie par q et on ajoute q1 à tous les nombres du carré magique auxiliaire, et l’on ajoute en plus le second reste r2 à chaque nombre d’une permutation figurée diagonale ou diagonale maximum.

Exemple d’ordre n = 4.

Soit M’4 = 126 ; M’ = 34 ; 126 = ( 34 x 3 ) + 24 ; 24 = ( 4 x 5 ) + 4

d’où : q = 3 ; r1 = 24 ; q1 = 5 et r2 = 4

16 3 2 13 53 14 11 44 53 18 11 44 11 12 17 18
5 10 11 8 20 35 38 29 20 35 42 29 20 23 26 29
9 6 7 12 32 23 26 41 36 23 26 41 35 36 41 42
4 15 14 1 17 50 47 8 17 50 47 12 44 47 50 53
Carré auxiliaire Grille intermédiaire Carré magique Série hétérogène

On obtient toujours un carré numérique à somme linéaires constantes ; mais l’élimination des doublets nécessite aussi dans ce cas quelques essais avec différents carrés auxiliaires et différentes permutations figurées diagonales. On peut également avoir ecours à une permutation figurée diagonale maximum.

Exemple d’ordre n = 5.

Soit M’5 = 170 ; m5 = 65 ; 170 = ( 65 x 2 ) + 10 ; 40 = ( 5 x 7 ) + 5

d’où : r1 = 40 ; q = 2 ; q1 = 7 ; r2 = 5

2 17 20 10 16 11 41 47 27 44 9 11 13 15 17
24 19 12 6 4 55 50 31 19 15 19 21 23 25 27
13 15 7 8 22 38 37 21 23 51 29 31 35 37 38
1 11 21 23 9 9 29 54 53 25 41 44 47 48 50
25 3 5 18 14 57 13 17 48 35 51 53 54 55 57
Carré auxiliaire
M5 = 65
Carré magique
M’5=170
Série hétérogène