Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
LE CHOIX A PRIORI DE LA CONSTANTE LINAIRE MAGIQUE


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METHODES ARABES   nbres base : 1ere ligne   nbres base : 2eme ligne   nbres base : diagonale principale 

La Méthode de Bergholtz (n=4). Cas de n = 4

Methode d’après Kordiemsky, 1963.

Soit M’4 la constante magique choisie. On choisit quatre nombres a, b, c et d ( dits nombres de base ) tels que

M’4 = a + b + c + d

On place ces quatre nombres dans les cases centrales de la grille auxiliaire I :

a c b d
d b c a
c a d b I
b d a c

Rappelons que dans tout carré magique d’ordre n = 4, la somme des 4 cases centrales, et celle des 4 cases angulaires, sont égales à la constante magique. Les termes a, b, c, d sont à leur place définitive.

On complète alors la grille I en carré latin.

Dans la grille auxiliaire II, on place quatre nombres arbitraires A, B, C, D dans les cases périphériques, seuls ou groupés deux à deux, de telle façon que la somme des cases extrêmes des lignes et colonnes médianes, et des diagonales principales, soit nulle :

-A A+C B-C -B
A-D -A+D
-B+D B-D II
B -A-C -B+C A

On additionne case par case les deux grilles auxiliaires I et II : la grille III est magique, de constante linéaire M’4 = a + b + c + d

a – A

c + A + C

b + B – C

d – B

d + A – D

b

c

a – A + D

c – B + D

a

d

b + B – D

III

b + B

d – A – C

a – B + C

c + A

Application numérique.

Application numérique : a = 24 ; b = 9 ; c = 21 ; d = 30

A = 14 ; B = 10 ; C = 12 ; D = 5.

10

47

7

20

4

7

9

10

39

9

21

15

14

15

16

19

16

24

30

14
IV

20

21

24

26

19

4

26

35
M’4 = 84

30

35

39

47
Série hétérogène

 

Remarques.

Le choix des nombres a, b, c, d et A, B, C, D, peut produire des doublets dans la grille III. Il faut alors modifier le choix en cause.

Les nombres auxiliaires A, B, C, D n’apparaissent pas dans le carré IV. Ils jouent le rôle d’un catalyseur.

Si l’on choisissait M’4 = 34 = M4= a + b + c + d, soit la constante magique d’un carré magique normal d’ordre n = 4, c’est par le plus grand des hasards que l’on obtiendrait un carré magique normal, utilisant tous les entiers consécutifs de 1 à n2.


La méthode de Iermakov – Cas de n = 4

Cette méthode, d’après Kordiemsky, 1963, est en quelque sorte une variante de la Méthode de Bergholtz.

On choisit les " nombres de base " a, b, c, d, tels que M’4 = a + b + c + d, que l’on place dans les cases angulaires de la grille auxiliaire I : les nombres a, b, c, d, sont à leur place définitive.

On complète la grille auxiliaire I en carré latin normal..

a b c d
c d a b
d c b a I
b a d c

On choisit quatre nombres auxiliaires A, B, C, D, que l’on place par couple dans les lignes et colonnes médianes de la grille auxiliaire II, de façon à ce que la somme des quatre cases alignées de ces lignes et colonnes médianes, soit nulle.

 

  A+B -A-B  
C-D -A-C A-C C+D
-C+D -A+C A+C -C-D II
  A-B -A+B  

On additionne case par case les deux grilles auxiliaires I et II ; la grille III est magique, et de constante linéaire M’4 = a + b + c + d.

a

b + A + B

c – A – B

d

c + C – D

d – A – C

a + A – C

b + C + D

d – C + D

c – A + C

b + A + C

a – C - D

III

b

a + A – B

d – A + B

c

 

Application numérique : a = 28 ; b = 16 ; c = 30 ; d = 25 ;

A = 10 ; B = 7 ; C = 14 ; D = 9.

M’4 = 99 = 28 + 16 + 30 + 25

28

33

13

25

1

5

13

16

35

1

24

39

20

22

24

25

20

34

40

5
IV

28

30

31

33

16

31

22

30
M’4 = 99

34

35

39

40
Série hétérogène

Mêmes " Remarques " que pour la Méthode de Bergholtz précédente.