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La Méthode de Bergholtz. Cas de n = 4 |
Methode d’après Kordiemsky, 1963.
Soit M’4 la constante magique choisie. On choisit quatre nombres a, b, c et d ( dits nombres de base ) tels que
M’4 = a + b + c + d
On place ces quatre nombres dans les cases centrales de la grille auxiliaire I :
| a | c | b | d | |
| d | b | c | a | |
| c | a | d | b | I |
| b | d | a | c |
Rappelons que dans tout carré magique d’ordre n = 4, la somme des 4 cases centrales, et celle des 4 cases angulaires, sont égales à la constante magique. Les termes a, b, c, d sont à leur place définitive.
On complète alors la grille I en carré latin.
Dans la grille auxiliaire II, on place quatre nombres arbitraires A, B, C, D dans les cases périphériques, seuls ou groupés deux à deux, de telle façon que la somme des cases extrêmes des lignes et colonnes médianes, et des diagonales principales, soit nulle :
| -A | A+C | B-C | -B | |
| A-D | -A+D | |||
| -B+D | B-D | II | ||
| B | -A-C | -B+C | A |
On additionne case par case les deux grilles auxiliaires I et II : la grille III est magique, de constante linéaire M’4 = a + b + c + d
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Application numérique.
Application numérique : a = 24 ; b = 9 ; c = 21 ; d = 30
A = 14 ; B = 10 ; C = 12 ; D = 5.
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IV |
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M’4 = 84 |
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| Série hétérogène | ||||||||
Remarques.
Le choix des nombres a, b, c, d et A, B, C, D, peut produire des doublets dans la grille III. Il faut alors modifier le choix en cause.
Les nombres auxiliaires A, B, C, D n’apparaissent pas dans le carré IV. Ils jouent le rôle d’un catalyseur.
Si l’on choisissait M’4 = 34 = M4= a + b + c + d, soit la constante magique d’un carré magique normal d’ordre n = 4, c’est par le plus grand des hasards que l’on obtiendrait un carré magique normal, utilisant tous les entiers consécutifs de 1 à n2.