Les Carrés Magiques Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles LE CHOIX A PRIORI DE LA CONSTANTE LINAIRE MAGIQUE

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La Méthode de Bergholtz (n=4). Cas de n = 4

Methode d’après Kordiemsky, 1963.

Soit M’₄ la constante magique choisie. On choisit quatre nombres a, b, c et d ( dits nombres de base ) tels que

M’₄ = a + b + c + d

On place ces quatre nombres dans les cases centrales de la grille auxiliaire I :

a	c	b	d
d	b	c	a
c	a	d	b	I
b	d	a	c

Rappelons que dans tout carré magique d’ordre n = 4, la somme des 4 cases centrales, et celle des 4 cases angulaires, sont égales à la constante magique. Les termes a, b, c, d sont à leur place définitive.

On complète alors la grille I en carré latin.

Dans la grille auxiliaire II, on place quatre nombres arbitraires A, B, C, D dans les cases périphériques, seuls ou groupés deux à deux, de telle façon que la somme des cases extrêmes des lignes et colonnes médianes, et des diagonales principales, soit nulle :

-A	A+C	B-C	-B
A-D			-A+D
-B+D			B-D	II
B	-A-C	-B+C	A

On additionne case par case les deux grilles auxiliaires I et II : la grille III est magique, de constante linéaire M’₄ = a + b + c + d

a – A	c + A + C	b + B – C	d – B
d + A – D	b	c	a – A + D
c – B + D	a	d	b + B – D	III
b + B	d – A – C	a – B + C	c + A

Application numérique.

Application numérique : a = 24 ; b = 9 ; c = 21 ; d = 30

A = 14 ; B = 10 ; C = 12 ; D = 5.

10	47	7	20		4	7	9	10
39	9	21	15		14	15	16	19
16	24	30	14	IV	20	21	24	26
19	4	26	35	M’4 = 84	30	35	39	47
					Série hétérogène

 

Remarques.

Le choix des nombres a, b, c, d et A, B, C, D, peut produire des doublets dans la grille III. Il faut alors modifier le choix en cause.

Les nombres auxiliaires A, B, C, D n’apparaissent pas dans le carré IV. Ils jouent le rôle d’un catalyseur.

Si l’on choisissait M’₄ = 34 = M₄= a + b + c + d, soit la constante magique d’un carré magique normal d’ordre n = 4, c’est par le plus grand des hasards que l’on obtiendrait un carré magique normal, utilisant tous les entiers consécutifs de 1 à n².

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La méthode de Iermakov – Cas de n = 4

Cette méthode, d’après Kordiemsky, 1963, est en quelque sorte une variante de la Méthode de Bergholtz.

On choisit les " nombres de base " a, b, c, d, tels que M’₄ = a + b + c + d, que l’on place dans les cases angulaires de la grille auxiliaire I : les nombres a, b, c, d, sont à leur place définitive.

On complète la grille auxiliaire I en carré latin normal..

a	b	c	d
c	d	a	b
d	c	b	a	I
b	a	d	c

On choisit quatre nombres auxiliaires A, B, C, D, que l’on place par couple dans les lignes et colonnes médianes de la grille auxiliaire II, de façon à ce que la somme des quatre cases alignées de ces lignes et colonnes médianes, soit nulle.

 

	A+B	-A-B
C-D	-A-C	A-C	C+D
-C+D	-A+C	A+C	-C-D	II
	A-B	-A+B

On additionne case par case les deux grilles auxiliaires I et II ; la grille III est magique, et de constante linéaire M’₄ = a + b + c + d.

a	b + A + B	c – A – B	d
c + C – D	d – A – C	a + A – C	b + C + D
d – C + D	c – A + C	b + A + C	a – C - D	III
b	a + A – B	d – A + B	c

 

Application numérique : a = 28 ; b = 16 ; c = 30 ; d = 25 ;

A = 10 ; B = 7 ; C = 14 ; D = 9.

M’₄ = 99 = 28 + 16 + 30 + 25

28	33	13	25		1	5	13	16
35	1	24	39		20	22	24	25
20	34	40	5	IV	28	30	31	33
16	31	22	30	M’4 = 99	34	35	39	40
					Série hétérogène

Mêmes " Remarques " que pour la Méthode de Bergholtz précédente.