Les Carrés Magiques Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles LE CHOIX A PRIORI DE LA CONSTANTE LINAIRE MAGIQUE

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GENERALITES   Propriétés  METHODES GENERALES   Quotient    Multiplicative   Edouard Lucas et Reichmann (n=3)   Permutations fig diagonales   Quotient et reste   Bergholtz et Iermakov (n=4)   Labosne-Méziriac  METHODES ARABES   nbres base : 1ere ligne   nbres base : 2eme ligne   nbres base : diagonale principale

La Méthode de Labosne-Méziriac – n impair (n=2k+1)

Rappelons tout d’abord la relation donnant la constante magique par la méthode de Labosne-Méziriac, en fonction des  " nombres de base "à caractère spécial, que sont a, b, c d,… :

d’où l’on tire

On décompose donc le second membre de l’égalité ci-dessus en une somme de n nombres entiers a + b + c +…, dits " nombres de base ".

On place alors ces nombres de base dans les créneaux d’une grille crénelée, conformément aux dispositions des schémas ci-dessous :

a

b

c

a

d

b

e

e

c

f

f

a

d

g

g

b

e

e

a

c

c

a

b

a

b

c

n = 3

n = 5

n = 7

On complète les alignements perpendiculaires par les termes d’une progression arithmétique de raison r = k n :

a + r ; a + 2r ; a + 3r ; …

b + r ; b + 2r ; b + 3r ; …

 

Le nombre médian de la suite impaire des " nombres de base " est à sa place définitive dans la dernière case de la première ligne de la grille d’ordre n. On retrouve les autres nombres de base dans cette grille (cf . lettres en italique dans les schémas ci-dessus)

Application numérique.

Soit M’₅ = 140, avec n = 5 ; et r = k n = 2 . 5 = 10

On a :

On peut décomposer ce résultat ainsi, par exemple :

a + b + c + d + e = 5 + 3 + 8 + 10 + 14 = 40

Et l’on peut construire le carré magique ci-dessous, de constante magique M’₅ = 140 :

				5
			15		3
		25		13		8				25	50	13	44	8		3	5	8	10	13
	35		23		18		10			10	23	54	18	35		14	15	18	20	23
45		33		28		20		14		33	14	28	45	20		24	25	28	30	33
	43		38		30		24			24	38	5	30	43		34	34	38	40	43
		48		40		34				48	15	40	3	34		44	45	48	50	54
			50		44											Série hétérogène
				54

. On peut construire, avec la même série de " nombres de base ", autant de carrés magiques de même constante magique, qu’il y a de permutations de ces nombres de base, c’est-à-dire n !.

Conditions de magie.

La somme des nombres de base, qui résulte du choix de la constante magique, ne peut pas être décomposée arbitrairement.

On doit en effet observer les conditions suivantes :

 

1. Dans la suite des nombres de base, le nombre médian doit être la moyenne arithmétique desdits nombres de base. Ainsi dans notre exemple
   

   Il faut donc que la somme a + b + c + d… soit un multiple de n.

2. Le coefficient k de la raison r = k n des alignements perpendiculaires, doit vérifier la relation
   
3. Les différences

entre les nombres de base, consécutifs ou non, doivent être différentes de r = k n :

Si l’on respecte ces conditions, on obtient toujours un carré magique ; si l’on transgresse l’une ou l’autre de ces conditions, on risque d’obtenir un carré parsemé de doublets, et/ou un carré semi magique. Mais ce risque n’est pas systématique.

Ainsi le contre-exemple ci-dessous. Avec n = 5 et k = 3 ( donc )

Soit M’₅ = 185, avec n = 5, et r = k n = 3 x 5 = 15

On a :

On peut décomposer ce résultat ainsi : a + b + c + d + e = 2+5+7+10+11 = 35

Et l’on peut construire le carré numérique ci-dessous, qui est bien magique : M’₅ = 185.

				2
			17		5
		32		20		7				32	70	20	56	7		2	5	7	10	11
	47		35		22		10			10	35	71	22	47		17	20	22	25	26
62		50		37		25		11		50	11	37	62	25		32	35	37	40	41
	65		52		40		26			26	52	2	40	65		47	50	52	55	56
		67		55		41				67	17	55	5	41		62	65	67	70	71
			70		56											Série hétérogène
				71