Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont placés dans la première ligne – Cas de n = 3

a

b

c

54

52

92
       

66
  
           

Soit M’3 = 198 = a + b + c = 54 + 52 + 92 = 198

Dans un carré magique d’ordre n = 3, on sait que la case centrale vaut le 1/3 de la constante magique.

La valeur de la case centrale est donc :

Il est alors facile de compléter les diagonales, dont on connaît deux termes sur trois, puis ensuite les trois colonnes, connaissant la somme linéaire M’3 = 198.

54

52

92

28

40

52
 Trois séries homogènes de 3 termes ; r =12

104

66

28

54

66

78

40

80

78

80

92

104

Les nombres de base a, b, c placés dans la première ligne conditionnent entièrement le carré magique ; on peut ainsi schématiser les opérations dans le tableau ci-dessous :

a

b

c

Conditions de magie.

. La constante linéaire choisie doit être divisible par 3, donc de la forme M’3 = a+b+c = " k.

. Les nombres de base ne doivent pas faire apparaître de répétition, ni au départ, ni au cours des opérations.

. Si on raisonne en nombres entiers positifs, les différentes opérations ne doivent pas faire apparaître de nombres négatifs ou fractionnaires.

A cet effet, posons pour simplifier:

Le tableau précédent se présente alors ainsi :

a

b

c

r + c - a

r

r + a - c

2r - c

2r – b

2r - a

. Tous les nombres seront > 0 si l’on a : r > | a - c | et a, b, c > 2 r

. Enfin il y a tout intérêt à choisir les nombres de base dans une palette assez proches les uns des autres.

Remarque : cas où M’n n’est pas divisible par 3 .

M’n est de la forme M’n = 3 k + w, avec w = 1 ou 2

On peut opérer en deux étapes, de la manière suivante :

On construit d’abord le carré magique correspondant à M’3 = 3k

On ajoute ensuite w ( soit 1 ou 2 ) aux trois termes d’une diagonale.

On obtiendra un carré semi-magique, avec une seule diagonale magique, de constante linéaire M’3 = 3 k + w.