Les Carrés Magiques Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles LE CHOIX A PRIORI DE LA CONSTANTE LINAIRE MAGIQUE

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GENERALITES   Propriétés  METHODES GENERALES   Quotient    Multiplicative   Edouard Lucas et Reichmann (n=3)   Permutations fig diagonales   Quotient et reste   Bergholtz et Iermakov (n=4)   Labosne-Méziriac  METHODES ARABES   nbres base : 1ere ligne   nbres base : 2eme ligne   nbres base : diagonale principale

Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont placés dans la première ligne – Cas de n = 3

a	b	c		54	52	92
					66

Soit M’₃ = 198 = a + b + c = 54 + 52 + 92 = 198

Dans un carré magique d’ordre n = 3, on sait que la case centrale vaut le 1/3 de la constante magique.

La valeur de la case centrale est donc :

Il est alors facile de compléter les diagonales, dont on connaît deux termes sur trois, puis ensuite les trois colonnes, connaissant la somme linéaire M’₃ = 198.

54	52	92			28	40	52	Trois séries homogènes de 3 termes ; r =12
104	66	28			54	66	78
40	80	78			80	92	104

Les nombres de base a, b, c placés dans la première ligne conditionnent entièrement le carré magique ; on peut ainsi schématiser les opérations dans le tableau ci-dessous :

a	b	c

Conditions de magie.

. La constante linéaire choisie doit être divisible par 3, donc de la forme M’3 = a+b+c = " k.

. Les nombres de base ne doivent pas faire apparaître de répétition, ni au départ, ni au cours des opérations.

. Si on raisonne en nombres entiers positifs, les différentes opérations ne doivent pas faire apparaître de nombres négatifs ou fractionnaires.

A cet effet, posons pour simplifier:

Le tableau précédent se présente alors ainsi :

a	b	c
r + c - a	r	r + a - c
2r - c	2r – b	2r - a

. Tous les nombres seront > 0 si l’on a : r > | a - c | et a, b, c > 2 r

. Enfin il y a tout intérêt à choisir les nombres de base dans une palette assez proches les uns des autres.

Remarque : cas où M’_n n’est pas divisible par 3 .

M’_n est de la forme M’_n = 3 k + w, avec w = 1 ou 2

On peut opérer en deux étapes, de la manière suivante :

On construit d’abord le carré magique correspondant à M’₃ = 3k

On ajoute ensuite w ( soit 1 ou 2 ) aux trois termes d’une diagonale.

On obtiendra un carré semi-magique, avec une seule diagonale magique, de constante linéaire M’₃ = 3 k + w.

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Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont placés dans la première ligne – Cas de n = 4

Soit M’₄ = 220, que l’on peut décomposer arbitrairement ainsi :

M’₄ = 220 = 44 + 83 + 33 + 60

Soit . Ainsi M’₄ doit être divisible par 2, et donc de la forme M’₄=2 k.

On place les compléments à s des nombres de base de la première ligne, conformément à la marche du fou aux échecs, c’est-à-dire en diagonale dans la troisième ligne (grille I).

44	83	33	60			44	83	33	60			27	33	40	44
	A					53	40	64	63			46	47	50	53
o	o	o	o			77	50	66	27			57	60	63	64
				I		46	47	57	70	II		66	70	77	83
												Série hétérogène

On choisit alors un nombre complémentaire A, ( dans notre exemple A = 40 ), qui permet d’achever le remplissage de la grille II conformément aux opérations du tableau ci-dessous.

Rappelons que dans un carré magique d’ordre n = 4, la somme des quatre termes angulaires, ainsi que la somme des quatre termes en carré au centre, sont égales à la constante magique, soit M’₄ = 2 s.

Notons que le nombre complémentaire A peut être placé n’importe où dans une case libre ; le tableau des opérations devra être modifié en conséquence.

a	b	c	d
d + c - A	A	d + a - A	b – d + A
s – c	s – d	s – a	s - b
s – d – a + A	s + d – b – A	s – d – c + A	s - A

 

Cas de M’₄ impair, soit M’₄ de la forme M’₄ = 2 k + 1

Soit par exemple M’₄ = 221 = 220 + 1. On résout le problème en deux temps :

1. On construit d’abord un carré magique de constante M’₄ = 220  : c’est le carré auxiliaire II ci-dessous ( même exemple que ci-dessus).
2. Ensuite on ajoute une unité aux nombres qui se trouvent placés sur une permutation figurée diagonale de 4 éléments : c’est le carré magique III ci-dessous, de constante magique M’₄ = 221:

44	83	33	60			44	83	33	61			27	33	41	44
53	40	64	63			53	41	64	63			46	47	50	53
77	50	66	27			78	50	66	27			58	61	63	64
46	47	57	70	II		46	47	58	70	III		66	70	78	83
												Série hétérogène

 

On pourrait donc construire théoriquement huit solutions, correspondant aux huit permutations figurées diagonales du carré magique d’ordre n = 4. Voici ces huit solutions :

45	83	33	60		45	83	33	60		44	83	34	60		44	84	33	60
53	40	64	64		53	40	65	63		54	40	64	63		53	40	65	63
77	51	66	27		77	50	66	28		77	51	66	27		78	50	66	27
46	47	58	70		46	48	57	70		46	47	57	71		46	47	57	71
Doublets

44	83	33	61		44	83	33	61		44	84	83	60		44	83	34	60
54	40	64	63		53	41	64	63		63	40	64	64		53	41	64	63
77	50	67	27		78	50	66	27		77	50	67	27		77	50	66	23
46	48	57	70		46	47	58	70		47	47	57	70		47	47	57	70
										Doublets					Doublets

Attention ! : Certaines solutions comportant des doublets sont à éliminer ! Seules 5 solutions sont finalement acceptables, dans le cas de notre exemple.

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Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont placés dans la première ligne – Cas de n = 5

Ce cas de figure conduit à un carré magique à enceinte.

On décompose la constante Magique M’_5, de la forme M’₅ = 5 k, en une somme de 5 " nombres de base ".

Soit M’₅ = 300 = a + b + c + d + e = 62 + 41 + 53 + 52 + 92

On construit d’abord les bordures, après avoir placé dans la case centrale l’élément

Deux nombres auxiliaires A et B sont nécessaires pour effectuer les opérations indiquées dans le tableau ci-dessous :

a	b	c	d	e
2 r – A				A
2 r – B		r		B
A + B + e – a – r				3 r + a – e – A –B
2 r – e	2 r - b	2 r – c	2 r - d	2 r – a

Application numérique : avec A = 50 et B = 51 ; r = 60.

62	41	53	52	92			62	41	53	52	92
				A			70				50
		60		B			69		60		51
							71				49
							28	79	67	68	58

Quant au carré central d’ordre n = 3, on connaît sa case centrale ( 60), et donc sa constante magique M’₃ = 3 x 60 = 180.

On prend modèle sur l’une des 8 formes du Lo Shu, en écrivant une suite de neuf nombres en progression arithmétique ( r = 1 ), ayant au centre la case centrale 60, dans laquelle on élimine les nombres déjà employés dans les bordures :

1	2	3		4	5	6		7	8	9
55	56	57	(58)	59	60	61	(62)	63	64	65

4	9	2			59	65	56
2	5	7			57	60	63
8	1	6			64	55	61
Lo Shu					M’3 = 180

 

62	41	53	52	92		28	41	49	50	51
70	59	65	56	50		52	53	55	56	57
69	57	60	63	51		58	59	60	61	62
71	64	55	61	49		63	64	65	67	68
28	79	67	68	58		69	70	71	79	92
M’5 = 300						Série hétérogène

 

Cas de M’₅ non divisible par 5.

Lorsque M’₅ n’est pas un multiple de 5, cette constante magique est de la forme

M’₅ = 5 k + w, avec w = 1, 2, 3 ou 4.

 

Soit par exemple : M’₅ = 302 = 300 + 2 = ( 5 x 60 ) + 2

On résout alors le problème en deux étapes :

1. Construction du carré magique auxiliaire de constante linéaire M’₅ = 300
2. On ajoute w = 2 aux termes occupant les cases d’une permutation figurée diagonale de 5 éléments.

On sait qu’il y a 20 permutations figurées diagonales de 5 éléments, ce qui conduit à 20 solutions, aux symétries et rotations près ; il faut aussi éliminer les solutions qui comportent des doublets.

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Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont placés dans la première ligne – Cas de n = 6

Ce cas de figure conduit à un carré à enceinte. On décompose la constante magique choisie, par exemple M’₆ = 165, en une somme de six nombres de base.

Soit M’₆ = a + b + c + d + e + f = 25 + 26 + 12 + 33 + 37 + 32 = 165

 

L’expérience montre que la constante magique choisie et les nombres da base correspondants, doivent satisfaire aux conditions suivantes :

• M’6 doit être divisible par 3, et donc de la forme M’₆ = 3 k ;
• Chacun des nombres de base doit être inférieur au tiers " s " de la constante M’₆ :

  a, b, c, d, e , f < s ( avec )

On construit d’abord les bordures :

• On place d’abord dans la dernière ligne, suivant les colonnes et les diagonales principales, les compléments à s = 55 des nombres de base de la première ligne ;
• On choisit ensuite :

  . deux nombres auxiliaires A et B suffisamment petits ( par exemple A = 2 et B = 4 ) pour égaliser à s = 55 la somme des nombres vis à vis dans les colonnes extrêmes ;

  . deux autres nombres auxiliaires P et Q, qui n’apparaîtront pas dans le carré magique final ( soit P = 4 et Q = 3 ), pour compléter les bordures conformément aux opérations indiquées dans le tableau ci-dessous :

a	b	c	d	e	f
B + Q					s – B - Q
s – B					B
A + P					s – A - P
s – A					A
s - f	s - b	s - c	s - d	s - e	s - a

Application numérique

a	b	c	d	e	f			25	26	12	33	37	32
								7					48
					B			51					4	B
								6					49
					A			53					2	A
								23	29	43	22	18	30

 

Construction du carré central d’ordre n = 4

Il reste à placer au centre un carré magique d’ordre n = 4 dont on connaît la constante magique :

On appliquera par exemple, la méthode décrite précédemment, lorsque les nombres de base sont alignés dans la première ligne d’une grille d’ordre n = 4, en rappelant que ce carré central

• ne doit pas comporter lui-même de doublets
• ne doit pas comporter de doublets avec les bordures
• ne doit pas comporter de nombres négatifs.

Ces conditions ne sont pas faciles à remplir simultanément ! Voici une solution :

						25	26	12	33	37	32			1	2	4	5	6	7
28	31	40	11			7	28	31	40	11	48			11	12	15	17	18	21
17	34	5	54			51	17	24	5	54	4			22	23	24	25	26	27
15	44	27	24			6	15	44	27	24	49			28	29	30	31	32	33
50	1	38	21			53	50	1	38	21	2			34	37	38	40	43	44
						23	29	43	22	18	30			48	49	50	51	53	54
Avec A = 34														Série hétérogène

 

• Cas où M’₆ n’est pas un multiple de 3.

 

Si l’on a M’₆ 3 k, alors M’₆ est de la forme M’₆ = 3 k + w. On pourra résoudre le problème en procédant en deux étapes.

1. On construit le carré magique à enceinte de constante magique M’₆ = 3 k comme carré magique auxiliaire.
2. On ajoute le reste w aux termes du carré magique auxiliaire situés sur une permutation figurée diagonale.

Le carré magique résultant est magique, mais il a perdu son caractère de carré magique à enceinte.

 

Au départ, en principe, plusieurs solutions se présentent ; par exemple on aura

167 = ( 55 x 3 ) + 2

167 = ( 54 x 3 ) + 5

……………………

167 = ( 44 x 3 ) + 35

167 = ( 43 x 3 ) + 38

…………………… ;

On aura intérêt à prendre w suffisamment grand pour éviter les doublets dans le carré numérique final. A noter que des doublets éventuels du carré magique auxiliaire peuvent être supprimés par un choix judicieux de la permutation figurée diagonale.

Il y a théoriquement de nombreuses solutions, mais la chasse aux doublets en élimine beaucoup.

Il faut aussi s’armer de persévérance pour effectuer les différents essais à prévoir (rappelons que l’on dispose de 72 permutations figurées diagonales de 6 éléments).