Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont placés dans la première ligne – Cas de n = 4

Soit M’4 = 220, que l’on peut décomposer arbitrairement ainsi :

M’4 = 220 = 44 + 83 + 33 + 60

Soit . Ainsi M’4 doit être divisible par 2, et donc de la forme M’4=2 k.

On place les compléments à s des nombres de base de la première ligne, conformément à la marche du fou aux échecs, c’est-à-dire en diagonale dans la troisième ligne (grille I).

44

83

33

60

44

83

33

60

27

33

40

44
 

A
    

53

40

64

63

46

47

50

53

o

o

o

o

77

50

66

27

57

60

63

64
       

I

46

47

57

70

II

66

70

77

83
Série hétérogène

On choisit alors un nombre complémentaire A, ( dans notre exemple A = 40 ), qui permet d’achever le remplissage de la grille II conformément aux opérations du tableau ci-dessous.

Rappelons que dans un carré magique d’ordre n = 4, la somme des quatre termes angulaires, ainsi que la somme des quatre termes en carré au centre, sont égales à la constante magique, soit M’4 = 2 s.

Notons que le nombre complémentaire A peut être placé n’importe où dans une case libre ; le tableau des opérations devra être modifié en conséquence.

a

b

c

d

d + c - A

A

d + a - A

b – d + A

s – c

s – d

s – a

s - b

s – d – a + A

s + d – b – A

s – d – c + A

s - A

 

Cas de M’4 impair, soit M’4 de la forme M’4 = 2 k + 1

Soit par exemple M’4 = 221 = 220 + 1. On résout le problème en deux temps :

  1. On construit d’abord un carré magique de constante M’4 = 220  : c’est le carré auxiliaire II ci-dessous ( même exemple que ci-dessus).
  2. Ensuite on ajoute une unité aux nombres qui se trouvent placés sur une permutation figurée diagonale de 4 éléments : c’est le carré magique III ci-dessous, de constante magique M’4 = 221:

44

83

33

60

44

83

33

61

27

33

41

44

53

40

64

63

53

41

64

63

46

47

50

53

77

50

66

27

78

50

66

27

58

61

63

64

46

47

57

70

II

46

47

58

70
 III 66 70 78 83
Série hétérogène

 

On pourrait donc construire théoriquement huit solutions, correspondant aux huit permutations figurées diagonales du carré magique d’ordre n = 4. Voici ces huit solutions :

45 83 33 60 45 83 33 60 44 83 34 60 44 84 33 60
53 40 64 64 53 40 65 63 54 40 64 63 53 40 65 63
77 51 66 27 77 50 66 28 77 51 66 27 78 50 66 27
46 47 58 70 46 48 57 70 46 47 57 71 46 47 57 71

Doublets

44 83 33 61 44 83 33 61 44 84 83 60 44 83 34 60
54 40 64 63 53 41 64 63 63 40 64 64 53 41 64 63
77 50 67 27 78 50 66 27 77 50 67 27 77 50 66 23
46 48 57 70 46 47 58 70 47 47 57 70 47 47 57 70
   

 Doublets

 Doublets

Attention ! : Certaines solutions comportant des doublets sont à éliminer ! Seules 5 solutions sont finalement acceptables, dans le cas de notre exemple.