Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont placés dans la première ligne – Cas de n = 5

Ce cas de figure conduit à un carré magique à enceinte.

On décompose la constante Magique M’5, de la forme M’5 = 5 k, en une somme de 5 " nombres de base ".

Soit M’5 = 300 = a + b + c + d + e = 62 + 41 + 53 + 52 + 92

On construit d’abord les bordures, après avoir placé dans la case centrale l’élément

Deux nombres auxiliaires A et B sont nécessaires pour effectuer les opérations indiquées dans le tableau ci-dessous :

a

b

c

d

e

2 r – A
      

A

2 r – B
  

r
  

B

A + B + e – a – r
      

3 r + a – e – A –B

2 r – e

2 r - b

2 r – c

2 r - d

2 r – a

Application numérique : avec A = 50 et B = 51 ; r = 60.

62 41 53 52 92 62 41 53 52 92
        A 70       50
    60   B 69   60   51
          71       49
          28 79 67 68 58

Quant au carré central d’ordre n = 3, on connaît sa case centrale ( 60), et donc sa constante magique M’3 = 3 x 60 = 180.

On prend modèle sur l’une des 8 formes du Lo Shu, en écrivant une suite de neuf nombres en progression arithmétique ( r = 1 ), ayant au centre la case centrale 60, dans laquelle on élimine les nombres déjà employés dans les bordures :

 1  2 3   4 5 6   7 8 9
 55  56 57 (58) 59 60 61 (62) 63 64 65

4

9

2
 59 65 56

2

5

7
 57 60 63

8

1

6
 64 55 61
 Lo Shu  M’3 = 180

 

62 41 53 52 92 28 41 49 50 51
70 59 65 56 50 52 53 55 56 57
69 57 60 63 51 58 59 60 61 62
71 64 55 61 49 63 64 65 67 68
28 79 67 68 58 69 70 71 79 92
 M’5 = 300  Série hétérogène

 

Cas de M’5 non divisible par 5.

Lorsque M’5 n’est pas un multiple de 5, cette constante magique est de la forme

M’5 = 5 k + w, avec w = 1, 2, 3 ou 4.

 

Soit par exemple : M’5 = 302 = 300 + 2 = ( 5 x 60 ) + 2

On résout alors le problème en deux étapes :

  1. Construction du carré magique auxiliaire de constante linéaire M’5 = 300
  2. On ajoute w = 2 aux termes occupant les cases d’une permutation figurée diagonale de 5 éléments.

On sait qu’il y a 20 permutations figurées diagonales de 5 éléments, ce qui conduit à 20 solutions, aux symétries et rotations près ; il faut aussi éliminer les solutions qui comportent des doublets.