www.kandaki.com - Carrés Magiques - LE CHOIX A PRIORI DE LA CONSTANTE LINAIRE MAGIQUE

Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont placés dans la première ligne – Cas de n = 6

Ce cas de figure conduit à un carré à enceinte. On décompose la constante magique choisie, par exemple M’₆ = 165, en une somme de six nombres de base.

Soit M’₆ = a + b + c + d + e + f = 25 + 26 + 12 + 33 + 37 + 32 = 165

L’expérience montre que la constante magique choisie et les nombres da base correspondants, doivent satisfaire aux conditions suivantes :

M’6 doit être divisible par 3, et donc de la forme M’₆ = 3 k ;
Chacun des nombres de base doit être inférieur au tiers " s " de la constante M’₆:
a, b, c, d, e , f < s ( avec )

On construit d’abord les bordures :

On place d’abord dans la dernière ligne, suivant les colonnes et les diagonales principales, les compléments à s = 55 des nombres de base de la première ligne ;
On choisit ensuite :
. deux nombres auxiliaires A et B suffisamment petits ( par exemple A = 2 et B = 4 ) pour égaliser à s = 55 la somme des nombres vis à vis dans les colonnes extrêmes ;
. deux autres nombres auxiliaires P et Q, qui n’apparaîtront pas dans le carré magique final ( soit P = 4 et Q = 3 ), pour compléter les bordures conformément aux opérations indiquées dans le tableau ci-dessous :

a	b	c	d	e	f
B + Q					s – B - Q
s – B					B
A + P					s – A - P
s – A					A
s - f	s - b	s - c	s - d	s - e	s - a

Application numérique

a	b	c	d	e	f	25	26	12	33	37	32
						7					48
					B	51					4	B
						6					49
					A	53					2	A
						23	29	43	22	18	30

Construction du carré central d’ordre n = 4

Il reste à placer au centre un carré magique d’ordre n = 4 dont on connaît la constante magique :

On appliquera par exemple, la méthode décrite précédemment, lorsque les nombres de base sont alignés dans la première ligne d’une grille d’ordre n = 4, en rappelant que ce carré central

ne doit pas comporter lui-même de doublets
ne doit pas comporter de doublets avec les bordures
ne doit pas comporter de nombres négatifs.

Ces conditions ne sont pas faciles à remplir simultanément ! Voici une solution :

				25	26	12	33	37	32	1	2	4	5	6	7
28	31	40	11	7	28	31	40	11	48	11	12	15	17	18	21
17	34	5	54	51	17	24	5	54	4	22	23	24	25	26	27
15	44	27	24	6	15	44	27	24	49	28	29	30	31	32	33
50	1	38	21	53	50	1	38	21	2	34	37	38	40	43	44
				23	29	43	22	18	30	48	49	50	51	53	54
Avec A = 34										Série hétérogène

Cas où M’₆ n’est pas un multiple de 3.

Si l’on a M’₆ 3 k, alors M’₆ est de la forme M’₆ = 3 k + w. On pourra résoudre le problème en procédant en deux étapes.

On construit le carré magique à enceinte de constante magique M’₆ = 3 k comme carré magique auxiliaire.
On ajoute le reste w aux termes du carré magique auxiliaire situés sur une permutation figurée diagonale.

Le carré magique résultant est magique, mais il a perdu son caractère de carré magique à enceinte.

Au départ, en principe, plusieurs solutions se présentent ; par exemple on aura

167 = ( 55 x 3 ) + 2

167 = ( 54 x 3 ) + 5

……………………

167 = ( 44 x 3 ) + 35

167 = ( 43 x 3 ) + 38

…………………… ;

On aura intérêt à prendre w suffisamment grand pour éviter les doublets dans le carré numérique final. A noter que des doublets éventuels du carré magique auxiliaire peuvent être supprimés par un choix judicieux de la permutation figurée diagonale.

Il y a théoriquement de nombreuses solutions, mais la chasse aux doublets en élimine beaucoup.

Il faut aussi s’armer de persévérance pour effectuer les différents essais à prévoir (rappelons que l’on dispose de 72 permutations figurées diagonales de 6 éléments).