Les Carrés Magiques Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles LE CHOIX A PRIORI DE LA CONSTANTE LINAIRE MAGIQUE

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GENERALITES   Propriétés  METHODES GENERALES   Quotient    Multiplicative   Edouard Lucas et Reichmann (n=3)   Permutations fig diagonales   Quotient et reste   Bergholtz et Iermakov (n=4)   Labosne-Méziriac  METHODES ARABES   nbres base : 1ere ligne   nbres base : 2eme ligne   nbres base : diagonale principale

Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont placés dans la seconde ligne – Cas de n = 3

On décompose la constante magique choisie M’₃ en une somme de trois nombres de base, a, b et c. Soit par exemple M’₃ = 156 :

M’₃ = a + b + c = 44 + 52 + 60

Ce choix et cette décomposition doivent satisfaire aux conditions suivantes :

1. On devra nécessairement avoir
2. La constante magique choisie M’₃ doit être un multiple de 3 : M’₃ = 3 k
3. On aura alors comme conséquence de 1. ci-dessus : a + c = 2 b.

Les trois nombres de base devront donc être en progression arithmétique ; ici r = 8.

		A					49	A
a	b	c			44	52	60

On choisit alors un nombre auxiliaire A à placer dans un angle, ce qui détermine entièrement le carré, dont les opérations sont résumées dans le tableau ci-dessous :

c – b + A	4 b – a – 2 A	A
a		c
2 b – A	c – 2 b + 2 A	3 b – c - A

Application numérique, avec A = 49

57	50	49	A			44	47	49
44	52	60				50	52	54
55	54	47				55	57	60
						Série hétérogène

 

Cas de M’₃ 3 k.

Lorsque la constante magique choisie n’est pas un multiple de 3, elle est de la forme

M’₃ = 3 k + w ( avec w = 1 ou 2 )

On peut ajouter w sur les termes situés sur une diagonale du carré magique obtenu avec

M’3 = 3 k, mais on n’obtient qu’un carré semi-magique ( une seule diagonale magique )

Exemple, avec M’₃ = 155 = 156 – 1 ; soit w = -1

57	50	49			56	50	49			44	46	49
44	52	60			44	51	60			50	51	54
55	54	47			55	54	46			55	56	60
Carré auxiliaire M’3 = 156					Carré semi-magique M’3 = 155					Série hétérogène

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Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont placés dans la seconde ligne – Cas de n = 4

On décompose la constante magique choisie M’₄, en quatre nombres de base ; ainsi par exemple avec M’₄ = 110 :

M’₄ = a + b + c + d = 11 + 32 + 36 + 31

M’₄ doit être divisible par 2 ( pair) :

On place dans la 4 ème ligne, suivant la marche du fou aux échecs, le complément à s = 55 des nombres de base de la seconde ligne.

11	32	36	31
	A
o	o	o	o

On choisit un élément complémentaire A, placé dans une case libre quelconque, qui permet de compléter la grille, conformément aux opérations résumées ci-dessous :

s – d – a + A	s + d – b - A	s – d – c + A	s – A
a	b	c	d
d + c – A	A
s – c	s – d	s – a	s – b

 

Application numérique , avec A = 29

42	25	17	26			11	13	17	19
11	32	36	31			23	24	25	26
38	29	13	20			29	30	31	32
19	24	44	23			36	38	42	44
						Série hétérogène

Cas de M’₄ impair. M’₄ = 2 k +/- 1

On résout le problème en deux temps :

1. On construit le carré magique de constante magique M’₄ = 2 k, comme carré auxiliaire ;
2. On ajoute (ou retranche) l’unité aux nombres situés sur une permutation figurée diagonale.

Exemple , avec M’₄ = 111 = 110 + 1

42	25	17	26			42	25	17	27			11	13	17	19
11	32	36	31			11	33	36	31			23	24	25	27
38	29	13	30			39	29	13	30			29	30	31	33
19	24	44	23			19	24	45	23			36	39	42	45
M’4 = 110												Série hétérogène

L’essentiel est d’éviter les doublets. Il y a plusieurs solutions ( Rappelons que l’on compte 8 permutations figurées diagonales de 4 éléments).

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Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont placés dans la seconde ligne – Cas de n = 5

On décompose la constante magique choisie M’₅ en cinq nombres de base.

Soit par exemple M’₅ = 300 :

M’₅ = a + b + c + d + e = 62 +41 + 53 + 52 + 92

 

a	b	c	d	e			62	41	53	52	92
		r							60

La case centrale est alors telle que :

Il faut alors avoir recours à cinq nombres complémentaires A, B, C, D, E, placés dans les bordures, pour compléter la grille, conformément aux opérations résumées dans le tableau ci-dessous.

C	E	D	5 r – B – C – D - E	B
a	b	c	d	e
e – r + A + B – C	r + d - b	r=M’5 / 5	r + b – d	3 r – e + C – A - B
d + c + b - r - A	2 r – d	2 r – c	2 r – b	A
2 r - B	2 r – E	2 r – D	B + C + D + E – 3 r	2 r - C

Application numérique

Avec :   A = 40 B = 42 C = 51 D = 75 E = 55	C	E	D
	51	55	75	77	42	B			40	41	42	43	45
	62	41	53	52	92				46	49	51	52	53
	63	71	60	49	57				55	57	60	62	63
	46	68	67	79	40	A			65	67	68	69	71
	78	65	45	43	69				75	77	78	79	92
	M’5 = 300								Série hétérogène

 

Cas où M’₅ 5 k

La constante magique choisie M’₅ doit être un multiple de 5 : M’₅ = 5 k

Si tel n’est pas le cas, M’₅ est alors de la forme

M’₅ = 5 k + w ( avec w = 1, 2, 3 ou 4)

On pourra résoudre le problème en deux temps :

1. On construit tout d’abord le carré magique de constante M’₅ = 5 k comme carré auxiliaire ;
2. On ajoute ensuite le reste w aux termes de ce carré auxiliaire situés sur une permutation figurée diagonale.

Il y a bien sûr de nombreuses solutions. On aura soin d’éviter tout doublet.