Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
LE CHOIX A PRIORI DE LA CONSTANTE LINAIRE MAGIQUE


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GENERALITES   Propriétés 
METHODES GENERALES   Quotient    Multiplicative   Edouard Lucas et Reichmann (n=3)   Permutations fig diagonales   Quotient et reste   Bergholtz et Iermakov (n=4)   Labosne-Méziriac 
METHODES ARABES   nbres base : 1ere ligne   nbres base : 2eme ligne   nbres base : diagonale principale 

Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont placés dans la seconde ligne – Cas de n = 3

On décompose la constante magique choisie M’3 en une somme de trois nombres de base, a, b et c. Soit par exemple M’3 = 156 :

M’3 = a + b + c = 44 + 52 + 60

Ce choix et cette décomposition doivent satisfaire aux conditions suivantes :

  1. On devra nécessairement avoir
  2. La constante magique choisie M’3 doit être un multiple de 3 : M’3 = 3 k
  3. On aura alors comme conséquence de 1. ci-dessus : a + c = 2 b.

Les trois nombres de base devront donc être en progression arithmétique ; ici r = 8.

   

A
    49 A

a

b

c
44 52 60
           

On choisit alors un nombre auxiliaire A à placer dans un angle, ce qui détermine entièrement le carré, dont les opérations sont résumées dans le tableau ci-dessous :

c – b + A

4 b – a – 2 A

A

a

c

2 b – A

c – 2 b + 2 A

3 b – c - A

Application numérique, avec A = 49

57 50 49 A 44 47 49
44 52 60 50 52 54
55 54 47 55 57 60
Série hétérogène 

 

Cas de M’3 3 k.

Lorsque la constante magique choisie n’est pas un multiple de 3, elle est de la forme

M’3 = 3 k + w ( avec w = 1 ou 2 )

On peut ajouter w sur les termes situés sur une diagonale du carré magique obtenu avec

M’3 = 3 k, mais on n’obtient qu’un carré semi-magique ( une seule diagonale magique )

Exemple, avec M’3 = 155 = 156 – 1 ; soit w = -1

57

50

49
56 50 49 44 46 49

44

52

60
44 51 60 50 51 54

55

54

47
55 54 46 55 56 60
Carré auxiliaire
M’3 = 156
Carré semi-magique
M’3 = 155
Série hétérogène

Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont placés dans la seconde ligne – Cas de n = 4

On décompose la constante magique choisie M’4, en quatre nombres de base ; ainsi par exemple avec M’4 = 110 :

M’4 = a + b + c + d = 11 + 32 + 36 + 31

M’4 doit être divisible par 2 ( pair) :

On place dans la 4 ème ligne, suivant la marche du fou aux échecs, le complément à s = 55 des nombres de base de la seconde ligne.

       

11

32

36

31
 

A
   

o

o

o

o

On choisit un élément complémentaire A, placé dans une case libre quelconque, qui permet de compléter la grille, conformément aux opérations résumées ci-dessous :

s – d – a + A

s + d – b - A

s – d – c + A

s – A

a

b

c

d

d + c – A

A
   

s – c

s – d

s – a

s – b

 

Application numérique , avec A = 29

42

25

17

26

11

13

17

19

11

32

36

31

23

24

25

26

38

29

13

20

29

30

31

32

19

24

44

23

36

38

42

44
Série hétérogène

Cas de M’4 impair. M’4 = 2 k +/- 1

On résout le problème en deux temps :

  1. On construit le carré magique de constante magique M’4 = 2 k, comme carré auxiliaire ;
  2. On ajoute (ou retranche) l’unité aux nombres situés sur une permutation figurée diagonale.

Exemple , avec M’4 = 111 = 110 + 1

42

25

17

26

42

25

17

27

11

13

17

19

11

32

36

31

11

33

36

31

23

24

25

27

38

29

13

30

39

29

13

30

29

30

31

33

19

24

44

23
19

24

45

23

36

39

42

45

 M’4 = 110
Série hétérogène

L’essentiel est d’éviter les doublets. Il y a plusieurs solutions ( Rappelons que l’on compte 8 permutations figurées diagonales de 4 éléments).


Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont placés dans la seconde ligne – Cas de n = 5

On décompose la constante magique choisie M’5 en cinq nombres de base.

Soit par exemple M’5 = 300 :

M’5 = a + b + c + d + e = 62 +41 + 53 + 52 + 92

 

                   

a

b

c

d

e

62

41

53

52

92
   

r
        

60
   
                   
                   

La case centrale est alors telle que :

Il faut alors avoir recours à cinq nombres complémentaires A, B, C, D, E, placés dans les bordures, pour compléter la grille, conformément aux opérations résumées dans le tableau ci-dessous.

C

E

D

5 r – B – C – D - E

B

a

b

c

d

e

e – r + A + B – C

r + d - b

r=M’5 / 5

r + b – d

3 r – e + C – A - B

d + c + b - r - A

2 r – d

2 r – c

2 r – b

A

2 r - B

2 r – E

2 r – D

B + C + D + E – 3 r

2 r - C

Application numérique

 
Avec :
 
A = 40
B = 42
C = 51
D = 75
E = 55

C

E

D

51

55

75

77

42

B

40

41

42

43

45

62

41

53

52

92

46

49

51

52

53

63
71

60

49

57

55

57

60

62

63

46
68

67

79

40

A

65

67

68

69

71

78
65

45

43

69

75

77

78

79

92
 M’5 = 300  Série hétérogène

 

Cas où M’5 5 k

La constante magique choisie M’5 doit être un multiple de 5 : M’5 = 5 k

Si tel n’est pas le cas, M’5 est alors de la forme

M’5 = 5 k + w ( avec w = 1, 2, 3 ou 4)

On pourra résoudre le problème en deux temps :

  1. On construit tout d’abord le carré magique de constante M’5 = 5 k comme carré auxiliaire ;
  2. On ajoute ensuite le reste w aux termes de ce carré auxiliaire situés sur une permutation figurée diagonale.

Il y a bien sûr de nombreuses solutions. On aura soin d’éviter tout doublet.