Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
LE CHOIX A PRIORI DE LA CONSTANTE LINAIRE MAGIQUE


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METHODES ARABES   nbres base : 1ere ligne   nbres base : 2eme ligne   nbres base : diag princip 

Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont sur une diagonale principale – Cas de n = 3

 

A

c
  54 60
 

b
    52  

a
    44    

Soit par exemple M’3 = 156

On sait que la case centrale b est égale à

D’où a + c = 2 b. Les rois nombres de base a, b et c doivent être en progression arithmétique.

Par exemple avec r = 8 : M’3 = a + b + c = 44 + 52 + 60

Il faut choisir un élément complémentaire A, placé n’importe où dans une case libre, pour compléter la grille, conformément aux opérations résumées dans le tableau ci-dessous, pour le placement de A comme indiqué dans les grilles ci-dessus.

b + a – A

A

c

2 b – 2 c + A

2 b + a – c - A

a

2 b - A

b – c + A

Application numérique. Avec A = 54

A
42 54 60 34 42 44
70 52 34 50 52 54
44 50 62 60 62 70
M’3 = 150 Série hétérogène

 

Cas de M’33 k

M’3 est de la forme M’3 = 3 k + w ( avec w = 1 ou 2 )

On résout le problème en deux étapes :

  1. On construit tout d’abord le carré magique de constante M’3 = 3 k comme carré auxiliaire ;
  2. On ajoute ensuite le reste w aux termes de ce carré auxiliaire situés sur une permutation figurée diagonale.

On obtient cependant un carré semi-magique.

Il y a plusieurs solutions. On aura soin d’éviter tout doublet.


Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont sur une diagonale principale – Cas de n = 4

On décompose la constante magique choisie en quatre nombres de base.

Soit par exemple M’4 = 110

M’4 = a + b + c + d = 11 + 32 + 36 + 31 = 110

   

D

d
   

17

31
 

A

c

C
 

19

36

26
 

b
     

32
   

a
   

B
11    

28

Il faut avoir recours à quatre éléments complémentaires A, B, C, D pour pouvoir remplir la grille, conformément au tableau-résumé ci-dessous :

 

c + b – B

a + B - D

D

d

d + b + a – A - C

A

c

C

A + B + C – b - a

b

d + a - A

c + b + a – B - C

a

d + c + D – A - B

b + A - D

B

Application numérique. Avec A = 19 ; B = 28 ; C = 26 ; D = 17 – M’4 = 110

40

22

17

31

11

17

19

22

29

19

36

26

23

25

26

28

30

32

23

25

29

30

31

32
11

37

34

28

34

26

37

40
 M’4 = 110 Série hétérogène

 

Remarque.

Il n’y a pas de condition particulière pour M’4, qui peut être paire ou impaire, ni pour les nombres de base a, b, c et d.

La présence de doublets et de nombres négatifs, incite cependant à la patience dans les différents essais.


Méthode arabe : les nombres de base de la constante choisie sont sur une diagonale principale – Cas de n = 5

On décompose la constante magique choisie en cinq nombres de base a, b, c , d, e.

Soit par exempleM’5 = 190.

M’5 = a + b = a + b + c + d + e = 25 + 32 + 38 + 36 + 59 = 190

   

C

B

e
   

55

48

59
   

A

d

D
   

43

36

24
   

c
 

E
   

38
 

54
 

b
       

32
     

a
        25        

La case centrale est :

M’5 doit être de la forme M’5 = 5 k.

Il faut avoir recours à cinq éléments complémentaires A, B, C, D, E pour pouvoir remplir la grille. Les opérations sont résumées dans le tableau ci-après.

c + b - A

d + a + A – B - C

C

B

e

2 c - D

3 c – d - A

A

d

D

2 c - E

d – b + A

c

2 c + b – d - A

E

A + d + E – b - a

b

2 c - A

c – b + A

2 c + b + a – A – D - E

a

2 c – d – a + B + C - A

2 c - C

2 c - B

d – c + A

Application numérique.

Avec A = 43 ; B = 48 ; C = 55 ; D = 24 ; E = 54.

27

1

55

48

59

1

12

21

22

24

52

35

43

36

24

25

27

28

29

32

22

47

38

29

54

33

35

36

38

41
64

32

33

49

12

43

47

48

49

52
25

75

21

28

41

54

55

59

64

75
M’5 = 190 Série hétérogène

Cas de M’5 k

M’5 est de la forme M’5 = 5 k + w ( avec w = 1, 2, 3 ou 4 )

On résout le problème en deux étapes :

  1. On construit tout d’abord le carré magique de constante M’5 = 5 k comme carré auxiliaire ;
  2. On ajoute ensuite le reste w aux termes de ce carré auxiliaire situés sur une permutation figurée diagonale.

On aura soin d’éviter ou de supprimer les doublets.