Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
CONSTRUCTION DES CARRES MAGIQUES


 Main MENU     Construction   Carrés associés   Constante linéaire   Biographies     Courrier   Guest 
 Liens   Livre   Carré de Durer   Oeuvres d´Art   Jeux de grille   Doc/Objets   Etudes/Logiciels 

 Généralités   Bachet de Méziriac    François Spinula   De La Hire   Cavalier d'Euler   Benjamin Franklin   Ralph Strachey   Quartiers   Pointages   Carrés latins orthogonaux   Carrés latins et eulériens   El Bouni   Autres Méthodes 

Construction des Carres Magiques : Méthode du Cavalier d’Euler. ordre impair

Cette méthode est basée sur la " marche " du cavalier au jeu des échecs. Elle a été mise au point par le mathématicien bâlois Leonhardt Euler (1707-1783), notamment dans une communication intitulée " De quadratis magis " (St Petersbourg, 1776)

Rappelons qu’à partir d’une case donnée de l’échiquier, le cavalier peut de déplacer de 8 façons différentes, selon 8 " marches " orientées de manière différente.

   

9

22

15

3
 
 

12

5

18
 

24
 

20

8

21

14

2

20
 

11

4

17

10

23

11
 

7

25

13

1

19

7
 

3

16

9

22

15
 

16

24

12

5

18

6
   

 

La mise en place de la suite des entiers de 1 à n2 dans la grille de n2 cases (n impair), est faite en application de deux règles de marche ou de cheminement.

  1. Marche principale – A partir d’une case-départ quelconque, on suit l’une des 8 marches du Cavalier. Par exemple deux pas vers le haut, un pas vers la droite (-2,1).
  2. Marche secondaire – Lorsque l’on tombe sur une case déjà occupée (ce qui se produit aux étapes n, 2n, 3n, …(n-1) n ), on fait par exemple deux pas vers la droite sur la même ligne, pour trouver une case libre, soit le déplacement (0,2). On reprend alors la même marche principale du Cavalier (-2,1).

Lorsque l’on sort de la grille de base n x n, il faut bien repérer la position " hors-case " à laquelle on aboutit sur la grille virtuelle contiguë, et superposer cette position " hors-case " à la grille de base.

Dans l’exemple ci-dessus, on a placé ces " hors-cases " dans les grilles virtuelles adjacentes correspondantes, pour bien montrer la réintégration de ces hors-cases.

On peut ainsi établir la fiche signalétique de l’exemple ci-dessus :

Ordre de la grille n = 5
Case-départ ( 3,4 )
Marche principale ( -2,1 )
Marche secondaire ( 0,1 )
Constante magique M5 = 65

Ces caractéristiques définissent parfaitement le carré magique en cause.

Précisons que la " case-départ " peut être placée de façon arbitraire ; cependant le carré numérique obtenu n’est pas toujours un carré magique, mais peut être semi-magique.

 

  1. Toutes les cases conviennent comme case-départ. On peut donc construire n2 carrés numériques (magiques ou semi-magiques) avec la même marche principale et la même marche secondaire.
  2. Il y a 8 marches possibles pour le Cavalier. De chaque case-départ on peut donc consruire 8 carrés numériques avec la même marche secondaire.
  3. Pour la marche secondaire, le problème se pose après une première étape " n ". On peut supposer qu’à ce moment, toute case libre convient comme " terminal " de la marche secondaire. Dans cette hypothèse on aurait n2 –n = n (n-1) marches secondaires possibles.
  4. Au total le nombre de solutions N serait donné par la relation : N = 8 n2 [n ( n-1)] = 8 n3 (n-1)

Ainsi pour n = 5, on a N = 4 .000 et pour n = 7, on a N = 16.464

 

Pour les ordre n impairs, on peut concevoir nombre de méthodes " variantes " sur le principe général de la Méthode dite du Cavalier, par cheminement régulier.

En voici quelques unes, considérées comme classiques, résumées dans le tableau ci-après :

 

Désignation (n impair)

Case-départ
Marche principale
( i, j )
Marche secondaire
( i, j )

Bachet de Méziriac Moschopoulos I
Au-dessous de la case centrale

( 1, 1 )

( 2, 0 )

De La Loubère (1691)
Quelconque

( ‚1, 1)

-d°-

( 2, 0 )

( 1, 0 )

Moschopoulos II
(Carré panmagique)
Case centrale de la 1ère ligne ou quelconque

( 2 ,1 )

( 4,0 )

Jacques Bouteloup (1991)
Quelconque

( 3, 1 )

( 2, 3 )

(-6, 0 )

( 1, 0 )