Construction des Carres Magiques : Méthode du Cavalier d’Euler. ordre impair

Cette méthode est basée sur la " marche " du cavalier au jeu des échecs. Elle a été mise au point par le mathématicien bâlois Leonhardt Euler (1707-1783), notamment dans une communication intitulée " De quadratis magis " (St Petersbourg, 1776)

Rappelons qu’à partir d’une case donnée de l’échiquier, le cavalier peut de déplacer de 8 façons différentes, selon 8 " marches " orientées de manière différente.

La mise en place de la suite des entiers de 1 à n² dans la grille de n² cases (n impair), est faite en application de deux règles de marche ou de cheminement.

1. Marche principale – A partir d’une case-départ quelconque, on suit l’une des 8 marches du Cavalier. Par exemple deux pas vers le haut, un pas vers la droite (-2,1).
2. Marche secondaire – Lorsque l’on tombe sur une case déjà occupée (ce qui se produit aux étapes n, 2n, 3n, …(n-1) n ), on fait par exemple deux pas vers la droite sur la même ligne, pour trouver une case libre, soit le déplacement (0,2). On reprend alors la même marche principale du Cavalier (-2,1).

Ordre de la grille n = 5

Case-départ ( 3,4 )

Marche principale ( -2,1 )

Marche secondaire ( 0,1 )

Constante magique M₅ = 65

Ces caractéristiques définissent parfaitement le carré magique en cause.

Précisons que la " case-départ " peut être placée de façon arbitraire ; cependant le carré numérique obtenu n’est pas toujours un carré magique, mais peut être semi-magique.

• La progéniture du Cavalier.

1. Toutes les cases conviennent comme case-départ. On peut donc construire n² carrés numériques (magiques ou semi-magiques) avec la même marche principale et la même marche secondaire.
2. Il y a 8 marches possibles pour le Cavalier. De chaque case-départ on peut donc consruire 8 carrés numériques avec la même marche secondaire.
3. Pour la marche secondaire, le problème se pose après une première étape " n ". On peut supposer qu’à ce moment, toute case libre convient comme " terminal " de la marche secondaire. Dans cette hypothèse on aurait n² –n = n (n-1) marches secondaires possibles.
4. Au total le nombre de solutions N serait donné par la relation : N = 8 n² [n ( n-1)] = 8 n³ (n-1)

Ainsi pour n = 5, on a N = 4 .000 et pour n = 7, on a N = 16.464

• Méthodes " variantes " de la Méthode du Cavalier.

Pour les ordre n impairs, on peut concevoir nombre de méthodes " variantes " sur le principe général de la Méthode dite du Cavalier, par cheminement régulier.

En voici quelques unes, considérées comme classiques, résumées dans le tableau ci-après :