Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
CONSTRUCTION DES CARRES MAGIQUES


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Construction des Carres Magiques : La Méthode de Ralph Strachey.

La Méthode de Ralph Strachey s’applique :

La Méthode de Ralph Strachey : Carrés d’ordre n = 2(2k+1): n divisible par 2,mais pas par 4.

Sous réserve de ces conditions, il y a de multiples façons de remplir le sous-carré A.

A
B
3
0
3
0
0
         
0
3
0
3
0
         
C
D
3
0
0
0
3
         
0
3
0
3
0
         
0
0
3
3
0
         
                   
                   
                   
                   
                   
A

A
B
3
0
3
0
0
         
0
3
0
3
0
         
C
D
3
0
0
0
3
         
0
3
0
3
0
         
0
0
3
3
0
         
3
3
0
0
3
         
3
0
3
0
3
         
0
3
3
3
0
         
3
0
3
0
3
         
0
3
0
3
3
         
C

2. On remplit ensuite le sous-carré C:

On considère les cases symétriques par rapport au côté commun aux sous-carrés A et C.

Et l’on permute, dans les cases correspondantes du carré C, les chiffres 0 et 3.

A
B
3
0
3
0
0
2
1
2
2
2
0
3
0
3
0
2
2
2
2
1
C
D
3
0
0
0
3
1
2
2
2
2
0
3
0
3
0
2
1
2
2
2
0
0
3
3
0
2
2
2
1
2
3
3
0
0
3
         
3
0
3
0
3
         
0
3
3
3
0
         
3
0
3
0
3
         
0
3
0
3
3
         
B

3. On remplit ensuite le sous-carré B, avec les chiffres 1 et 2, dans les conditions suivantes:

A
B
3
0
3
0
0
2
1
2
2
2
0
3
0
3
0
2
2
2
2
1
C
D
3
0
0
0
3
1
2
2
2
2
0
3
0
3
0
2
1
2
2
2
0
0
3
3
0
2
2
2
1
2
3
3
0
0
3
 1
 1
 1
 2
 1
3
0
3
0
3
 1
 2
 1
 1
 1
0
3
3
3
0
 2
 1
 1
 1
 1
3
0
3
0
3
 1
 1
 1
 1
 2
0
3
0
3
3
 1
 2
 1
 1
 1
B

 

4. On remplit enfin le sous-carré D par rapport à B, de la même manière que l’on a rempli le sous-carré C par rapport au sous-carré A.

5. Toutes les cases des quatre sous-carrés de la grille initiale sont remplies.

On multiplie alors tous les chiffres de ces cases par le facteur n2/4 = 102 /4 = 25. On obtient le carré auxiliaire ci-dessous:

75
0
75
0
0
50
25
50
50
50
0
75
0
75
0
50
50
50
50
25
75
0
0
0
75
25
50
50
50
50
0
75
0
75
0
50
25
50
50
50
0
0
75
75
0
50
50
50
25
50
75
75
0
0
75
25
25
25
50
25
75
0
75
0
75
25
50
25
25
25
0
75
75
75
0
50
25
25
25
25
75
0
75
0
75
25
25
25
25
50
0
75
0
75
75
25
50
25
25
25

Ce carré auxiliaire est magique ! La somme linéaire est 375 (La constante normale étant M10=505)

Mais ce n’est pas encore le carré magique normal que l’on veut construire.

Pour le ramener à la normale, il faut additionner à chaque sous-carré, un carré magique d’ordre 5, ainsi qu’il suit :

6. Ainsi par exemple, soit le carré magique d’ordre 5 ci-dessous, et son symétrique au-dessous ( on a le choix, rappelons qu’il y a 275.305.224 carrés magiques d’ordre 5 !) :

20
8
21
14
2
24
12
5
18
6
11
4
17
10
23
3
16
9
22
15
7
25
13
1
19
7
25
13
1
19
3
16
9
22
15
11
4
17
10
23
24
12
5
18
6
20
8
21
14
2
 Pour A et B
 Pour C et D

7. Il ne reste plus qu’à superposer à leurs places respectives les carrés d’ordre 5 indiqués ci-dessus, dans le carré auxiliaire précédent, et faire la somme case par case. On obtient le carré magique d’ordre 10 ci-après, de constante magique M10 = 505.

95
8
96
14
20
33
71
64
52
70
11
79
17
85
23
61
54
67
60
48
82
25
13
1
94
32
75
63
51
69
3
91
9
97
15
53
41
59
72
65
24
12
80
93
6
74
62
55
43
56
99
87
5
18
81
49
37
30
68
31
78
16
84
22
90
28
66
34
47
40
7
100
88
76
19
57
50
38
26
44
86
4
92
10
98
36
29
42
35
73
20
83
21
89
77
45
58
46
39
27

Cette méthode, un peu lente et pas très simple, est très riche. Comme il y a de multiples façons de remplir les sous-carrés A et C, cela multiplie d’autant le choix du carré magique d’ordre 5.

La famille des carrés magiques d’ordre n =10 est vraiment impressionnante (Voir ci-après: La progéniture de Ralph Strachey).

 

La Méthode de Ralph Strachey : Carrés d’ordre n = 4k (" pairement pair ")

    Soit l’exemple n = 8 ; k = 2.

    La seule différence par rapport à la technique précédente, réside dans le remplissage des sous-carrés A et C:

    Chaque ligne doit comporter le même nombre de chacun des couples de chiffres 0 et 3; 1 et 2.

    Même règle pour les diagonales.

    Les autres étapes sont identiques à celles de la méthode précédente.

    Rappelons qu’il y a le choix pour le carré d’ordre 4, entre les 880 carrés de cette famille.

    0
    3
    0
    3
    1
    2
    1
    2
    0
    48
    0
    48
    16
    32
    16
    32
    0
    3
    3
    0
    2
    2
    1
    1
    0
    48
    48
    0
    32
    32
    16
    16
    0
    0
    3
    3
    1
    1
    2
    2
    0
    0
    48
    48
    16
    16
    32
    32
    3
    3
    0
    0
    2
    1
    2
    1
    48
    48
    0
    0
    32
    16
    32
    16
    0
    0
    3
    3
    1
    2
    1
    2
    0
    0
    48
    48
    16
    32
    16
    32
    3
    3
    0
    0
    2
    2
    1
    1
    48
    48
    0
    0
    32
    32
    16
    16
    3
    0
    0
    3
    1
    1
    2
    2
    48
    0
    0
    48
    16
    16
    32
    32
    3
    0
    3
    0
    2
    1
    2
    1
    48
    0
    48
    0
    32
    16
    32
    16
     Carré auxiliaire : n2/4 = 16

     

    16
    3
    2
    13
    4
    15
    14
    1
    16
    51
    2
    61
    32
    35
    18
    45
    5
    10
    11
    8
    9
    6
    7
    12
    5
    58
    59
    8
    37
    42
    27
    24
    9
    6
    7
    12
    5
    10
    11
    8
    9
    6
    55
    60
    25
    22
    39
    44
    4
    15
    14
    1
    16
    3
    2
    13
    52
    63
    14
    1
    36
    31
    46
    17
    Carré de Dürer
    pour A et B
    Et son symétrique
    pour C et D
    4
    15
    62
    49
    20
    47
    30
    33
    57
    54
    7
    12
    41
    38
    23
    28
    5
    10
    11
    56
    21
    26
    43
    40
    64
    3
    50
    13
    48
    19
    34
    29
     Carré magique

     

    Une présentation plus générale et un peu différente de la Méthode de Ralph Strachey est donnée par Benson et Jacoby (1976), pp. 19-25.

     

    La Méthode de Ralph Strachey : La progéniture de Ralph Strachey !

    Combien de carrés magiques peut-on construire avec la Méthode de Ralph Strachey ?

     

 
Lors du remplissage du sous-carré A, il y a 6 façons de placer " 0,3,0,3 " sur 4 cases. Pour l’ensemble des 4 lignes, on aurait donc 64=1296 dispositions différentes. La contrainte d’avoir 2 fois le chiffre 3 sur une diagonale, ramène ce nombre à 486.
Il en est de même pour le sous-carré B.
Et comme on a le choix entre les 880 carrés d’ordre 4, le nombre de carrés magiques d’ordre 8 que l’on peut construire par cette méthode sera
486 x 486 x 880 = 207.852.480.
Ce nombre de plus de 200 millions, montre la richesse de la Méthode de Raph Strachey.

     

  • Carrés d’ordre " impairement pair " : n = 10
 
Pour le sous carré A, il y a 10 façons de remplir les 5 cases avec les chiffres 0 et 3, soit pour 5 lignes, 105 = 100.000.
La contrainte intéressant la première diagonale, ramène ce nombre à 15.360.
Pour le sous-carré B, il y a 5 façons de remplir les 5 cases avec lec chiffres 1 et 2, soit pour les 5 lignes, 55 = 3.125, nombre qui est ramené à 1.280 pour tenir de la contrainte intéressant la seconde diagonale.
Si l’on se souvient qu’il y a 275.305.224 carrés magiques d’ordre 5, le nombre de carrés magiques d’ordre 10 que l’on pourra construire avec la Méthode de Ralph Strachey s’établit à:
15.360 x 1.280 x 275.305.224 = 19.660.800 x 275.305.224 = 5,4 x 1015
soit plus de 5 millions de milliards ! (D’après Lucien Gérardin (1986), pp. 89-95 et 202-203)