Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
CONSTRUCTION DES CARRES MAGIQUES


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Construction des Carres Magiques : La méthode des quartiers. n = 4 k + 2.

Cette méthode s’applique aux ordres de la forme n = 4 k + 2 ( 6, 10, 14, 18 …)

Elle nécessite la connaissance préalable d’un carré magique d’un ordre de la forme

n = 2 k + 1 (3, 5, 7, 9 …)

On peut aussi dire que cette méthode permet le doublement de l’ordre d’un carré magique de la forme n = 2k + 1.

Exemple pour n = 6.

2
9
4
20
27
22
29
9
4
20
27
22
2
9
4
1 à 9
A
19 à 27
B
7
5
3
25
23
21
7
32
3
25
23
21
7
5
3
6
1
8
24
19
26
33
1
8
24
19
26
6
1
8
28 à 36
D
10 à 18
C
29
36
31
11
18
13
2
36
31
11
18
13
Le Lo Shu
34
32
30
16
14
12
34
5
30
16
14
12
 Schéma A
33
28
35
15
10
17
6
28
35
15
10
17
I – Grille auxiliaire
II – M6 == 111

On divise la grille d’un carré auxiliaire en quatre quartiers, A, B, C et D, dans lesquels pendront place les quatre quarts de la série naturelle des entiers de 1 à n2 conformément au schéma A ci-dessus, dans les conditions suivantes :

Toutes les colonnes sont magiques : M6 = 111.

Pour rendre magiques les lignes, on permute case par case les cases ombrées des quartiers A et D.

On obtient le carré magique II – M6 = 111.

Dans cet exemple, avec les 8 formes du Lo Shu dans le quartier A, cette méthode conduit à 8 solutions.

Voici comment se présentent les permutations pour rendre magiques les lignes, pour les ordres n = 10 et n = 14 ; il est facile d’extrapoler pour les ordres supérieurs.

                                               
                                               
                                               
                                               
                                               
                                               
                                               
                                               
                                               
                                               
                           
                           
                           
                           
 n = 10 – M10 = 505
 n = 14 – M14 = 1379

Il y a autant de solutions que de carrés magiques A.

Ainsi pour n = 10, on aura N > 275 millions.

pour n = 14, N = quelques milliards !