Construction des Carres Magiques : La méthode des pointages. n = 4 k.

 

La méthode des pointages ou des transpositions, est décrite avec le pointage de type I par Moschopoulos dans son petit " Traité des carrés magiques ", au XIVe siècle : il donne comme exemples des grilles d’ordre n = 4, 8 et 16. Cette méthode est donc très ancienne.

Elle s’applique aux ordres de la forme n = 4 k.

On commence par " pointer " la grille intéressée : il faut que dans chaque ligne et chaque colonne, la moitié des cases soient pointées, et par conséquent que l’autre moitié des cases ne soient pas pointées.

Voici deux types de pointage de la grille élémentaire de 4 x 4 = 16 cases.

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Type I
Type II

On compte mentalement la suite des entiers de 1 à n2 en commençant par une case angulaire, et on inscrit le nombre correspondant dans chaque case pointée.

Cela fait, on recommence à compter, en partant de la case angulaire opposée, et on inscrit le nombre correspondant dans chaque case non pointée.

Exemple avec le pointage de Type I. On commence à compter en haut à droite ; dans le second comptage on commence en bas à gauche.

4
    
1
4
14
15
1
 
7
6
  
9
7
6
12
 
11
10
  
5
11
10
8
16
    
13
16
2
3
13
M4 = 34

 

On divise la grille de côté n = 4k, en k2 carrés élémentaires de 4 x 4 = 16 cases, affectés du type de pointage choisi.

Et on " compte " de la même façon que précédemment pour remplir la grille.

Exemple pour n = 8 – k = 2, et k2 = 4

 

 
D
D
    
D
D
  
64
2
3
61
60
6
7
57
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D
9
55
54
12
13
51
50
16
D
    
D
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17
47
46
20
21
43
42
24
 
D
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40
26
27
37
36
30
31
33
 
D
D
    
D
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32
34
35
29
28
38
39
25
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41
23
22
44
45
19
18
48
D
    
D
D
    
D
49
15
14
52
53
11
10
56
 
D
D
    
D
D
  
8
58
59
5
4
62
63
1

Pointage Type II M8 = 260

On peut envisager divers types de pointage. En voici quelques-uns sur une grille d’ordre n = 8. Les médianes constituent toujours deux axes de symétrie orthogonaux.

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I
II
III

 
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O
    
O
IV
V
VI

Remarque.

Le pointage dans la grille élémentaire de 4 x 4 = 16 cases, correspond à une combinaison figurée de 16 termes pris 8 à 8.

Théoriquement, le nombre de ces combinaisons figurées simples est C= 12.870

La condition que dans chaque ligne et chaque colonne, il n’y ait que la moitié des cases pointées, restreint considérablement ce nombre.

  1. Y a-t-il d’autres pointages en dehors des six types mentionnés ci-dessus et de leurs symétriques, qui satisfassent à la condition restrictive rappelée ci-dessus ?
  2. Et s’il y en a, ces types de pointages conduisent-ils à un carré magique ?