Construction des carrés magiques. La Méthode des carrés latins orthogonaux. n pair et impair.

 

Cette méthode a pour origine les travaux de Leonhard Euler. Elle est applicable à tous les ordres pairs et impairs, à l’exception de n = 6.

1
3
2
4
1
4
3
2
1,1
3,4
2,3
4,2
4
2
3
1
3
2
1
4
4,3
2,2
3,1
1,4
3
1
4
2
2
3
4
1
3,2
1,3
4,4
2,1
2
4
1
3
4
1
2
3
2,4
4,1
1,2
3,3
  A
  A’
Carré eulérien

Rappelons qu’un carré latin d’ordre n est dit normal ou naturel lorsque les éléments des lignes et des colonnes sont constitués des n premiers entiers.

Deux carrés latins sont dits orthogonaux lorsque les couples formés par leur superposition sont tous différents, et forment ainsi un carré eulérien.

Les carrés latins A et A’ ci-dessus répondent à cette définition : témoin le carré eulérien de droite, donné à titre de vérification ; il ne participe pas à la méthode présentée ici.

La construction du carré magique M s’opère par application terme à terme de la relation :

M = n ( A – 1 ) + A’ et avec n = 4 : M = 4 ( A – 1 ) + A’

1
12
7
14
15
6
9
4
10
3
16
5
8
13
2
11
M4 = 34

Le carré magique obtenu est pandiagonal.

 

3
2
1
5
4
3
5
2
4
1
13
10
2
24
16
5
4
3
2
1
2
4
1
3
5
22
19
 11
8
5
2
1
5
4
3
1
3
5
2
4
6
3
25
17
14
4
3
2
1
5
5
2
4
1
3
20
12
9
1
23
1
5
4
3
2
4
1
3
5
2
4
21
18
15
7
  A
  A’
M5 = 65

 

On applique la relation : M = 5 ( A – 1 ) + A’

Le carré magique obtenu est pandiagonal.

 

Soit deux carrés latins orthogonaux d’ordre n = 4, construits avec la série linéaire " 0 – (n-1) " au lieu de " 0 – n) :

0
2
1
3
0
3
2
1
0
11
6
13
3
1
2
0
2
1
0
3
14
5
8
3
2
0
3
1
1
2
3
0
9
2
15
4
1
3
0
2
3
0
1
2
7
12
1
10
  A
  A’
M [0 – n2-1]

On obtient le carré magique correspondant par application de la relation un peu plus simple : M = n A + A’ et avec n = 4: M = 4 A + A’
Les termes de ce carré magique vont de 0 à (n2– 1), soit pour n = 4, de 0 à 15 ; M4 = 30.
Si l’on superpose les deux carrés latins en cause, on obtient un carré eulérien, qui correspond à un carré magique écrit en base n, soit en base 4 dans notre exemple :
00
23
12
31
32
11
20
03
21
02
33
10
13
30
01
22
M en base 4

Rappelons la correspondance des nombres écrits en base 4 et les nombres écrits dans le système décimal :

Base 4  : 0,1, 2, 3, 10, 11 , 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 40, 41, 42, 43, 50
Décimal : 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

La transposition de ce carré magique composé des nombres de " 0 à (n2 – 1) ", en un carré magique normal composé des nombres de 1 à n2, se fait sans difficulté :

1
12
7
14
15
6
9
4
10
3
16
5
8
13
2
11
M4 = 34