Construction des carrés magiques. La Méthode de El-Bouni.

El-Bouni, qui décrit cette méthode de construction des carrés magiques à enceinte(s) d’ordre impair, est originaire de Bône (Algérie) ; il est mort en 1225. On peut situer l’ouvrage dans lequel il traite des carrés magiques, au début du XIIIème siècle. D’après le traducteur/commentateur de El-Bouni, l’origine persane de cette méthode transparaît dans le texte arabe. El-Bouni, cabaliste très connu à son époque, ne semble pas être l’inventeur de ladite méthode, dont l’ancienneté ne fait cependant aucun doute. Cette méthode est exposée par Carra de Vaux, "Une solution arabe du problème des carrés magiques" Revue d'histoire des sciences,1947,pp 206-242.

Soit l’exemple d’un carré d’ordre n = 5 .On procède de l’intérieur vers l’extérieur.

• Remplissage du carré central d’ordre n = 3. On part de l’une des formes du Lo Shu :

Soit " n’ " l’ordre de l’enceinte ; dans notre exemple, on a n’ = 5

Aux termes de la diagonale composée des chiffres médians (4,5,6) de la suite naturelle des entiers de 1 à 9, on ajoute la demi différence des carrés de n’ et n :

D/2 = ½ (n’² – n²)

Dans notre exemple, avec n’ = 5 et n = 3, on aura :

D/2 = ½(n’² – n²) = ½ (5² –3² )= 8

On remarque que les nombres obtenus sont des nombres consécutifs.

Aux autres chiffres, supérieurs au médian (5), c’est-à-dire à 7, 8 et 9, on ajoute la différence des carrés mentionnés ci-dessus :

D = n’² – n²

Dans notre exemple, on aura : D = n’² – n² = 5² – 3² = 16

A noter que les trois premiers chiffres inférieurs au médian, restent à leur place définitive.

• Remplissage de l’enceinte.

On complète la seconde diagonale de manière à former une suite de nombres consécutifs : on place 11 et 15 dans les cases libres aux extrémités.

On place la suite 4, 5 et 6 dans les colonnes, en zig-zag horizontalement, au départ de la case située au-dessous du 15.

Puis on place la suite suivante, 7, 8, 9, 10 en zig-zag verticalement, au départ de la première case de la première ligne.

On complète enfin les cases opposées vis-à-vis par leurs complémentaires à n’² +1 = 5₂+1 = 26.

La grille est alors complètement remplie. Constantes magiques M₅ = 65 ; M’₃ = 39.

Voici deux autres exemples, construits avec la même méthode :