Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
Le fascinant Carré Magique d’Albrecht Dürer


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Le fascinant Carré Magique d’Albrecht Dürer - Généralités

 

 La " Melencolia " 

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

Le carré magique ci-dessus a été immortalisé par le peintre et graveur Albrecht Dürer (1471-1528), qui l’a représenté dans sa célèbre gravure, souvent reproduite, " Melencolia ", exécutée en 1514 : cette date figure dans les deux cases médianes de la dernière ligne de ce carré magique normal ; c’est aussi la date de la mort de Barbara, la mère d’Albrecht Dürer. D’aucuns pensent que c’est la première apparition en occident de ce carré magique (cf. illustration)

Pour dénommer son œuvre, " Melencolia ", Albrecht Dürer s’est directement inspiré du carré magique qu’il a représenté : c’est en effet le carré magique dit de Jupiter, qui gouverne le tempérament sanguin, et combat l’ascendance de Saturne, lequel gouverne le tempérament mélancolique (cf. Klibansky, Panofsky et Saxl, " Saturne et la mélancolie ", Gallimard Editeur, 1989, pp. 503-504).

Albrecht Dürer était un esprit très ouvert, curieux de tout. Il s’est ainsi intéressé aux mathématiques, entre autres, et en particulier à la géométrie. En 1525 il publie un manuel de géométrie pratique, dont le titre original complet est " Underweysung der messung, mit dem zirckel und richtscheyt, in Linien ebnen unnd gantzen corporen, durch Albrecht Dürer zu samen getzogzn, und zu nutz aller kunstliebhabenden mit zu gehörigen figuren in truck gebracht, im jar MDXXV " (Instructions pour la mesure, à la règle et au compas, des lignes, plans et corps solides, réunies par Albrecht Dürer, et imprimées avec les figures correspondantes, à l’usage de tous les amateurs d’art, en l’an MDXXV), dans lequel il donne notamment de nombreuses constructions pratiques de certaines figures, dont les polygones réguliers.

Cet ouvrage, traduit et savamment commenté par Jeanne Peiffer sous le titre " Géométrie ", Le Seuil Editeur, 1995, 415 pp. comporte de nombreuses figures et gravures de Dürer. Cependant dans cet ouvrage, Dürer n’aborde pas la question des carrés magiques.

Le symbolisme de la " Melencolia " a intéressé nombre d’observateurs et critiques d’art. Le personnage principal ailé, méditatif, assis triste et nonchalant, devant un travail en cours d’exécution, semble-t-il, les outils dispersés, la balance, la cloche, le sablier, le polyèdre régulier, l’angelot, ainsi que d’autres détails, révèlent, avec le carré magique normal de 16 cases sur le mur du fond, un état d’esprit et une certaine tournure de pensée : on a dit que la " Melencolia " constituait un " autoportrait spirituel " de Dürer, qui ne s’est cependant jamais exprimé sur cette œuvre, laissant ainsi à chacun le soin de l’interpréter personnellement.

On regroupe souvent la " Melencolia " avec deux autres gravures de Dürer de même format (24 x 19 cm), de même facture,et de la même époque, " Le chevalier, la mort et le diable " (1513), et " St Gérôme dans sa cellule " (1524), ces trois œuvres formant une sorte de trilogie, comportant chacune le sablier, symbole de l’écoulement du temps, inéluctable, insaisissable, " cause première de l’angoisse de ce génie troublé ".

Nous allons voir que ce carré magique représenté dans la " Melencolia ", connu sous l’appellation de " Carré de Dürer " et souvent donné comme référence, est doté de propriétés étonnantes.

 Les huit formes du Carré Magique de Dürer 

16 3 2 13 4 9 5 16 1 14 15 4 13 8 12 1
5 10 11 8 15 6 10 3 12 7 6 9 2 11 7 14
9 6 7 12 14 7 11 2 8 11 10 5 3 10 6 15
4 15 14 1 1 12 8 13 13 2 3 16 16 5 9 4
  Rot. ¼ Rot. ½ Rot. ¾
13 2 3 16 4 15 14 1 1 12 8 13 16 5 9 4
8 11 10 5 9 6 7 12 14 7 11 2 3 10 6 15
12 7 6 9 5 10 11 8 15 6 10 3 2 11 7 14
1 14 15 4 16 3 2 13 4 9 5 16 13 8 12 1
Sym. 1ère médiane Sym. 2e médiane Sym. 2e diag. Sym. 1ère diag.

Le carré magique de Dürer fait partie des 880 carrés magiques de base d’ordre n = 4 : il porte le n° 175 de la classification de Frénicle.

Rappelons que tout carré magique possède huit " formes " ou huit " figures " différentes, obtenues par rotations (4 figures, y compris l’original), symétrie par rapport aux médianes (2 figures) et symétrie par rapport aux diagonales principales ( 2 figures). Les huit figures du carré magiques de Dürer sont représentées ci-dessus.

Dans ce qui suit, nous raisonnerons essentiellement sur la forme de base du Carré de Dürer, la plupart des propriétés étudiées se retrouvant, mutatis mutandis, dans les autres formes.