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Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
Le fascinant Carré Magique d’Albrecht Dürer
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La construction du Carré Magique de Dürer |
Il existe plusieurs méthodes de construction du carré magique de Dürer. En voici quelques-unes.
| La Méthode des permutations sur les diagonales |
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- On part du carré fondamental naturel ( 1 )
- On permute les nombres sur les deux diagonales principales par rapport au centre ( 2 )
- On permute les deux colonnes médianes ( 3 )
| La Méthode des permutations |
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- On part du carré fondamental naturel ( 1 ).
- On ne touche pas aux nombres situés sur les diagonales principales, et on permute les autres nombres par rapport au centre ( 2 )
- On permute les colonnes extrêmes ( 3 )
- On prend le symétrique de la grille 3 par rapport au bord supérieur de ladite grille ( 4 )
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- Soit le pointage de la grille 1
- On commence par compter mentalement la suite naturelle des nombres entiers à partir de la case inférieure droite, et l’on inscrit les nombres dans les cases non pointées ( 2 )
- On recommence à compter mentalement à partir de la case diagonalement opposée (soit la première case de la première ligne), et l’on inscrit les nombres dans les cases pointées ( 3 )
- On permute enfin les colonnes médianes ( 4 )
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On obtient un résultat analogue
avec le pointage ci-contre de la grille 1.
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La Méthode des pointages, avec le type de pointage ci-dessus, est décrite par Moschopoulos dans son petit traité " Construction des carrés magiques " (XVe siècle). Cette méthode est donc relativement ancienne.
Albrecht Dürer a-t-il eu connaissance du traité de Moschopoulos pour établir son carré magique ?
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Albrecht Dürer, qui a séjourné en Italie à différentes reprises, a peut-être eu l’occasion de consulter l’ouvrage de
Fra Luca Pacioli di Borgo, " Des vertus presque miraculeuses des nombres et des grandeurs continues ",
écrit en 1500 , et qui se trouve à la Bibliothèque Universitaire de Bologne, Codex 250, dans lequel est abordée la question
des carrés magiques. On sait qu’il séjourne à Venise pendant presque toute l’année 1506. A la fin de ce séjour,
il est allé précisément à Bologne, pour apprendre " l’art secret de la perspective " :
c’est ce qu’il écrit le 13 octobre 1506 à Willibald Pirkheimer. Albrecht Dürer avait une bonne connaissance de la langue italienne.
Il a bien pu s’entretenir de carrés magiques, entre autres, avec Luca Pacioli à cette occasion !
ci-contre: portrait de Fra Luca Pacioli di Borgo, peint par Jacopo del Barbari, vers 1505
On reconnait sous sa main gauche, la 'Summa de Arithmetica'
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| La Méthode des " inversions " ou des " symétries ". |
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Par " inversion ", il faut entendre l’écriture d’une ligne ou d’une colonne dans l’ordre inverse de ses
éléments ; on peut aussi considérer qu’il s’agit d’une symétrie.
- On part du carré fondamental naturel (1)
- On inverse une paire de colonnes symétriques (colonnes complémentaires) : par exemple les deux colonnes médianes, soit les colonnes 2 et 3 ( 2 )
- On inverse ensuite deux lignes symétriques de la grille 2 : ainsi la première et la dernière ligne, soit les lignes 1 et 4 ( 3 )
- On permute enfin les lignes 1 et 4 dans la grille 3. On obtient le Carré de Dürer ( 4 )
Nota. On peut commencer par inverser les colonnes 1 et 4, puis ensuite les lignes 2 et 3.
