La construction du Carré Magique de Dürer

Il existe plusieurs méthodes de construction du carré magique de Dürer. En voici quelques-unes.

La Méthode des permutations sur les diagonales

• On part du carré fondamental naturel ( 1 )
• On permute les nombres sur les deux diagonales principales par rapport au centre ( 2 )
• On permute les deux colonnes médianes ( 3 )

La Méthode des permutations

• On part du carré fondamental naturel ( 1 ).
• On ne touche pas aux nombres situés sur les diagonales principales, et on permute les autres nombres par rapport au centre ( 2 )
• On permute les colonnes extrêmes ( 3 )
• On prend le symétrique de la grille 3 par rapport au bord supérieur de ladite grille ( 4 )

La Méthode des pointages

• Soit le pointage de la grille 1
• On commence par compter mentalement la suite naturelle des nombres entiers à partir de la case inférieure droite, et l’on inscrit les nombres dans les cases non pointées ( 2 )
• On recommence à compter mentalement à partir de la case diagonalement opposée (soit la première case de la première ligne), et l’on inscrit les nombres dans les cases pointées ( 3 )
• On permute enfin les colonnes médianes ( 4 )

X     X   X X     X X   X     X

On obtient un résultat analogue avec le pointage ci-contre de la grille 1.

La Méthode des pointages, avec le type de pointage ci-dessus, est décrite par Moschopoulos dans son petit traité " Construction des carrés magiques " (XVe siècle). Cette méthode est donc relativement ancienne.
Albrecht Dürer a-t-il eu connaissance du traité de Moschopoulos pour établir son carré magique ?

Albrecht Dürer, qui a séjourné en Italie à différentes reprises, a peut-être eu l’occasion de consulter l’ouvrage de Fra Luca Pacioli di Borgo, " Des vertus presque miraculeuses des nombres et des grandeurs continues ", écrit en 1500 , et qui se trouve à la Bibliothèque Universitaire de Bologne, Codex 250, dans lequel est abordée la question des carrés magiques. On sait qu’il séjourne à Venise pendant presque toute l’année 1506. A la fin de ce séjour, il est allé précisément à Bologne, pour apprendre " l’art secret de la perspective " : c’est ce qu’il écrit le 13 octobre 1506 à Willibald Pirkheimer. Albrecht Dürer avait une bonne connaissance de la langue italienne. Il a bien pu s’entretenir de carrés magiques, entre autres, avec Luca Pacioli à cette occasion ! ci-contre: portrait de Fra Luca Pacioli di Borgo, peint par Jacopo del Barbari, vers 1505 On reconnait sous sa main gauche, la 'Summa de Arithmetica'

La Méthode des " inversions " ou des " symétries ".

Par " inversion ", il faut entendre l’écriture d’une ligne ou d’une colonne dans l’ordre inverse de ses éléments ; on peut aussi considérer qu’il s’agit d’une symétrie.

• On part du carré fondamental naturel (1)
• On inverse une paire de colonnes symétriques (colonnes complémentaires) : par exemple les deux colonnes médianes, soit les colonnes 2 et 3 ( 2 )
• On inverse ensuite deux lignes symétriques de la grille 2 : ainsi la première et la dernière ligne, soit les lignes 1 et 4 ( 3 )
• On permute enfin les lignes 1 et 4 dans la grille 3. On obtient le Carré de Dürer ( 4 )

Nota. On peut commencer par inverser les colonnes 1 et 4, puis ensuite les lignes 2 et 3.