Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
Le fascinant Carré Magique d’Albrecht Dürer


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La construction du Carré Magique de Dürer

Il existe plusieurs méthodes de construction du carré magique de Dürer. En voici quelques-unes.

 La Méthode des permutations sur les diagonales 

1 2 3 4 16 2 3 13 16 3 2 13
5 6 7 8 5 11 10 8 5 10 11 8
9 10 11 12 9 7 6 12 9 6 7 12
13 14 15 16 4 14 15 1 4 15 14 1
1 2 3

 

 La Méthode des permutations 

1 2 3 4 1 15 14 4 4 15 14 1 16 3 2 13
5 6 7 8 12 6 7 9 9 6 7 12 5 10 11 8
9 10 11 12 8 10 11 5 5 10 11 8 9 6 7 12
13 14 15 16 13 3 2 16 16 3 2 13 4 15 14 1
1 2 3 4

 

 La Méthode des pointages 

  X X   16     13 16 2 3 13 16 3 2 13
X     X   11 10   5 11 10 8 5 10 11 8
X     X   7 6   9 7 6 12 9 6 7 12
  X X   4     1 4 14 15 1 4 15 14 1
1 2 3 4

X     X
  X X  
  X X  
X     X

On obtient un résultat analogue

avec le pointage ci-contre de la grille 1.

La Méthode des pointages, avec le type de pointage ci-dessus, est décrite par Moschopoulos dans son petit traité " Construction des carrés magiques " (XVe siècle). Cette méthode est donc relativement ancienne.
Albrecht Dürer a-t-il eu connaissance du traité de Moschopoulos pour établir son carré magique ?

Albrecht Dürer, qui a séjourné en Italie à différentes reprises, a peut-être eu l’occasion de consulter l’ouvrage de Fra Luca Pacioli di Borgo, " Des vertus presque miraculeuses des nombres et des grandeurs continues ", écrit en 1500 , et qui se trouve à la Bibliothèque Universitaire de Bologne, Codex 250, dans lequel est abordée la question des carrés magiques. On sait qu’il séjourne à Venise pendant presque toute l’année 1506. A la fin de ce séjour, il est allé précisément à Bologne, pour apprendre " l’art secret de la perspective " : c’est ce qu’il écrit le 13 octobre 1506 à Willibald Pirkheimer. Albrecht Dürer avait une bonne connaissance de la langue italienne. Il a bien pu s’entretenir de carrés magiques, entre autres, avec Luca Pacioli à cette occasion !

ci-contre: portrait de Fra Luca Pacioli di Borgo, peint par Jacopo del Barbari, vers 1505
On reconnait sous sa main gauche, la 'Summa de Arithmetica'

 

 La Méthode des " inversions " ou des " symétries ". 

1 2 3 4 1 14 15 4 4 15 14 1 16 3 2 13
5 6 7 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8
9 10 11 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12
13 14 15 16 13 2 3 16 16 3 2 13 4 15 14 1
1 2 3 4

Par " inversion ", il faut entendre l’écriture d’une ligne ou d’une colonne dans l’ordre inverse de ses éléments ; on peut aussi considérer qu’il s’agit d’une symétrie.

Nota. On peut commencer par inverser les colonnes 1 et 4, puis ensuite les lignes 2 et 3.