Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
Le fascinant Carré Magique d’Albrecht Dürer


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Le carré magique de Dürer est du type " associé "

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

Un carré magique est dit du type " associé ", lorsque les termes complémentaires sont placés dans les cases complémentaires de la grille. Cela correspond au type de base III de la Classification de Dudeney.

Rappelons que dans une série, les termes dits " complémentaires " sont symétriques par rapport au milieu de la série.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

Ainsi 3 et 14, 6 et 11, 8 et 9….. sont des termes complémentaires dans la série ci-dessus ; par suite leur somme est constante et égale à la somme des termes extrêmes (cas d’une série paire)

Dans une grille de n x n = n2 cases, les cases symétriques par rapport au centre de la grille sont dites " complémentaires "

Dans un carré magique du type associé, la somme P des termes complémentaires placé dans les cases complémentaires est constante et égale à (n2 + 1) : c’est la " constante de polarisation ". Dans le carré magique de Dürer, de type associé, cette constante de polarisation est donc : P = n2 + 1 = 42 + 1 = 17

Les carrés magiques de type associé sont autocomplémentaires.

Rappelons que lorsque l’on remplace chaque terme d’un carré magique normal d’ordre n par son complémentaire à (n2 + 1), on obtient un autre carré magique de même constante linéaire, dit " complémentaire " du précédent.

Exemple pour le carré de Dürer :

16 3 2 13

1 14 15 4
5 10 11 8

12 7 6 9
9 6 7 12

8 11 10 5
4 15 14 1

13 2 3 16
Carré de Dürer

Complémentaire

Si le " Complémentaire " coïncide après rotation avec le carré d’origine, ce dernier est alors dit " auto-complémentaire "

C’est bien le cas des carrés magiques du type associé, et en particulier du Carré de Dürer.

Remarque – Les carrés fondamentaux ou naturels répondent à la définition du type " associé ", bien que n’étant pas des carrés magiques.

De type associé, le carré magique de Dürer est " semipandiagonal ", c’est-à-dire que la constante magique est obtenue sur les seules diagonales brisées dont les termes présentent une symétrie centrale ( ou suivant une diagonale principale) . Ainsi on a : 5 + 3 + 14 + 12 = 34 et 9 + 15 + 8 + 2 = 34


Des couples " isométriques " dans les permutations figurées

Rappelons ci-dessous les 24 permutations figurées de 4 termes :

X       X       X       X       X       X      
  X       X         X         X     X         X
    X         X   X       X           X     X  
      X     X         X     X     X       X    
1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 1 4 3 2

  X       X         X         X     X         X
X       X       X       X       X       X      
    X         X   X       X           X     X  
      X     X         X     X     X       X    
2 1 3 4 2 1 4 3 2 3 1 4 2 3 4 1 2 4 1 3 2 4 3 1

  X       X         X         X     X         X
    X         X   X       X           X     X  
X       X       X       X       X       X      
      X     X         X     X     X       X    
3 1 2 4 3 1 4 2 3 2 1 4 3 2 4 1 3 4 1 2 3 4 2 1

  X       X         X         X     X         X
    X         X   X       X           X     X  
      X     X         X     X     X       X    
X       X       X       X       X       X      
4 1 2 3 4 1 3 2 4 2 1 3 4 2 3 1 4 3 1 2 4 3 2 1

Dans le carré de Dürer, les 4 termes qui correspondent par superposition à une permutation figurée d’ordre 4, forment deux couples de trois façons. Or il y a toujours deux couples dont les sommes sont égales. Cette propriété est visualisée dans les 24 grilles ci-dessous, qui correspondent aux 24 permutations figurées d’ordre 4. Cette propriété remarquable est souvent occultée.

16       16       16       16       16       16      
  10       10         11         8     11         8
    7         12   6       6           12     7  
      1     14         1     14     15       15    
16+1 = 10+7 16+10 =14+12 16+1 = 6+11 16+6 = 14+8 16+11=15+12 16+7 = 15+8

  3       3         2         13     2         13
5       5       5       5       5       5      
    7         12   6       6           12     7  
      1     14         1     14     15       15    
5+3 = 7+1 5+12 = 14+3 5+2 = 6+1 5+14 = 6+13 5+12 = 15+2 5+15 = 7+13

  3       3         2         13     2         13
    11         8   10       10           8     11  
9       9       9       9       9       9      
      1     14         1     14     15       15    
9+3 = 11+1 9+8 = 14+3 9+2 = 10+1 9+14 = 10+13 9+8 = 15+2 9+11 = 15+13

  3       3         2         13     2         13
    11         8   10       10           8     11  
      12     7         12     7     6       6    
4       4       4       4       4       4      
11+4 = 12+3 4+7 = 8+3 10+4 = 12+2 10+7 = 13+4 6+4 = 8+2 11+6 = 13+4