Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
 


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RECREATIONS MATHEMATIQUES : Carrés magiques et Carré Naturel

 Les pages suivantes sont basées les ouvrages de René Descombes. Ce site comprend quelques parties adaptées des livres et d'autres informations inédites (Constante lineaire magique, carrés magiques associés, carré de Durer, oeuvres d'art, jeux de grille) que l'auteur n'a pas pu faire figurer dans les livres...
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Plan du Site LES CARRES MAGIQUES


Les Carrés Magiques : Introduction

Le carré est l'un des quatre symboles fondamentaux avec le cercle, le centre et la croix. Tandis que le cercle symbolise le mouvement, la dynamique, au carré sont associés l'arrêt, la stabilité, la statique.

Le carré est aussi le symbole de la matière terrestre, du corps et de la réalité, tandis que le cercle est le symbole de la psyché : Platon lui-même décrit la psyché comme une sphère.
Pour les Pythagoriciens, d'après Plutarque, le carré réunit la puissance et la grâce de Rhéa, Aphrodite, Déméter, Hestia et Héra : " le carré signifie que Rhéa la mère des dieux, la source de la durée, se manifeste par des modifications des quatre éléments, symbolisés par Aphrodite qui est l'eau génératrice, par Hesta qui est le feu, par Déméter qui est la terre et par Héra qui est l'air " (Mario Meunier). Le carré symbolise donc la synthèse des éléments.

Nombre de villes et de monuments sont bâtis sur un plan carré, à commencer par la Jérusalem Céleste du Livre de l'Apocalypse, et tels que la Cour carrée de la Mosquée du Prophète à Médine, la place publique d'Athène, la base carrée de la Pyramide de Kukulcan à Chichèn Itza, le temple de Borobudur à Java ou celui du Ciel à Pékin, ou encore celui d'Angkor Vat au Cambodge. Les villes et les camps militaires romains sont implantés sur plan carré, divisé en quatre quartiers par les voies cardinales orthogonales. Alors que les camps et les tentes des peuples nomades, non sédentarisés, sont ronds. Des villes sur plan carré sont bâties au Moyen Âge : Ste Foy, Montpazier…

Les églises présentant une emprise carrée, sont nombreuses : la Cathédrale d'Oxford, l'église de Ramsey en Grande Bretagne ; les églises de Fontenay, Pontigny, Noirlac, Laon en France. Ces églises carrées sont la plupart du temps d'origine cistercienne.

Le carré revêt une signification symbolique dans la plupart des religions. Le carré est présent en particulier dans les traditions de l'Islam, ainsi que dans les traditions chrétiennes par la croix, à laquelle le carré est intimement associé.

Aux environs de l'an mille, les alchimistes ont joué un rôle particulièrement important. Ils ont exalté les mystères de la matière, le but de leur recherche embrassait à la fois l'esprit et le corps, et ils inventèrent quantités de mots et de symboles pour les représenter. Un de leurs symboles principaux était, avec le cercle, la " quadratura circuli ", la quadrature du cercle, qui n'est autre qu'un mandala

Il est important de remarquer que le carré, ou les groupes de carrés, apparaissent très tôt dans l'art, tout aussi fréquemment que le cercle. Et l'art moderne a pérennisé cette tradition, le maître des compositions harmonieuses de carrés étant sans conteste le hollandais Piet Mondrian (1872-1944).

Les " carrés magiques " dont nous allons nous occuper essentiellement s'apparentent aux nombres carrés.
Il s'agit, pour les carrés magiques additifs dits " normaux ", de placer dans une grille carrée de n2 cases, - grille que d'aucuns appellent un " casier " -, les n2 premiers nombres entiers consécutifs, sans lacune ni répétition, de façon à obtenir dans les lignes horizontales, les colonnes verticales, et aussi dans les deux diagonales principales, des sommes égales, cette somme commune étant dite la " constante magique " du carré magique additif considéré, appelée aussi " somme linéaire magique ".
Un carré est dit " semi-magique " lorsque seuls les nombres des lignes et des colonnes présentent la même somme constante.

Certains auteurs font débuter la suite des entiers par zéro, soit 0, 1, 2, 3… (n2-1), comme par exemple le Général Cazalas (1934), Kathleen Ollerenshaw (1998). Les propriétés de ces carrés restent, mutatis mutandis, les mêmes. Cependant certaines méthodes de construction des carrés magiques se trouvent simplifiées ; nous en donnerons quelques exemples.
" L'ordre ", ou la " dimension ", ou encore " la taille " d'un carré magique, correspond au nombre n de cases par côté de la grille: c'est en somme la racine carrée du nombre total de cases de la grille ou du casier considéré.
De grands mathématiciens de renommée mondiale, tels que Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), Karl Friedrich Gauss (1777-1855), Edouard Lucas (1842-1891)… n'ont pas dédaigné l'étude des carrés magiques.
Blaise Pascal (1623-1662) a également écrit un Traité des carrés magiques , "Traité des nombres magiquement magiques", qu'il a adressé en 1654 à l'Académie des Sciences : il s'agissait de carrés à enceintes. C'est vraisemblablement ce Traité qui a été inséré par Antoine Arnault en Annexe de ses "Nouveaux éléments de Géométrie", publiés à Paris en 1667 (cf. Jacques Darriulat - 1994)
Les carrés magiques sont apparus très anciennement en Orient, aux Indes, et notamment en Chine, au cours des premiers siècles de notre ère, pour les carrés magiques d'ordre petit . Mais pour les odres plus grands, les méthodes générales de construction semblent avoir pris naissance en Perse, dès le IXème siècle : on trouve des carrés magiques d'ordre n = 8, sans doute provenant de problème intéressant le jeu des échecs, qui serait lui-même originaire des Indes au VIIIème siècle.
On connaît un Traité des Carrés Magiques, ou "Arrangement harmonieux des nombres", rédigé en arabe, datant du XIe siècle (cf. Jacques Sésiano - 1996)
Les Carrés magiques n'auraient été introduits en Europe qu'au début du XVe siècle, notamment par Manuel Moschopoulos. Mais ils étaient sans doute connus de façon empirique - non mathématique - par les " magiciens " et alchimistes des siècles antérieurs, sous forme d'amulette ou de talisman.
" Nul ne saura sans doute jamais par quels individus le concept de carré magique est passé de la Chine à la Grèce, aux Indes et à l'Islam, puis à l'Occident, mais on ne peut que constater le fait singulier qu'une idée sans aucune importance ni utilité économique ou militaire, a pu se jouer des barrières entre les empires, les peuples, les langues et les frontières, et se transmettre à travers le temps, en s'enrichissant constamment, jusqu'à notre époque " ( Michel Criton, Les jeux mathématiques, PUF 1997)
Cependant si ce circuit " Chine-Grèce-Indes-Islam " est admis par la plupart des auteurs, " il apparaît maintenant, que ce chemin fut suivi en sens inverse, et que la science des carrés magiques était déjà solidement établie dans le monde arabe vers l'an mille " (Jacques Sésiano, 1996)


The Magic squares : Introduction

The square is the one of the four basic symbols with the circle, the centre and the cross. While the circle symbolise the movement, the dynamic, to the square are associated the stop, the stability, the static.
The square is also the symbol of the earthly matter, body and reality, while the circle is the symbol of the psyche: Platon himself describes the psyche as a sphere. For Pythagoricians, according to Plutarque, the square calls together the power and the grace of Rhea, Aphrodite, Demeter, Hestia and Hera: "Square means that Rhéa the mother of gods, the source the length, shows itself by modifications of the four elements, symbolised by Aphrodite who is generating water, by Hesta who is the fire, by Demeter who is the earth and by Hera who is air (Mario Meunier). The square symbolise therefore the synthesis of elements.
Number of cities and monuments are built on a square plan, to start with Celestial Jerusalem of the Book of the Apocalypse, and such that the square Courtyard of the Mosque of the Prophet in Medine, the public place of Athens, the square basis of the Pyramid of Kukulcan in Chichèn Itza, the temple of Borobudur of Java or the temple of the Sky in Bejing, or again the one of Angkor Vat in Cambodia. The cities and the roman military camps are implanted on a square plan, divided in four quarters by orthogonal ways. While the camps and the stretched nomad peoples, are round. Cities on square plan are built to the Middle Ages: Ste Foy, Montpazier…
The churches presenting a square mastery, are numerous: the Oxford Cathedral, the church of Ramsey in Great Britain; the churches of Fontenay, Pontigny, Noirlac, Laon in France. These square churches are most of the cistercian time origin.
The square has a symbolic meaning in most of the religions. The square is present in particular in the traditions of Islam, as well as in the Christian traditions by the cross, to which the square is strongly associated.
To the vicinity of the year thousand, the alchemists played a particularly important role. They excited the mysteries of the matter, their goal were at the same time the spirit and the body, and they invented quantities of words and of symbols to represent them. One of their principal symbols was, with the circle, the " circuli quadratura ", the squaring of the circle, that is not other that a mandala.
It is important to notice that the square, or the groups of squares, appear very early in the art, all as frequently as the circle. And the modern art has keep this tradition, the master of harmonious compositions of squares being without protest the Dutch Piet Mondrian (1872-1944).
The "magic squares" which will occupy ourselves essentially are related to the square numbers. For the magic squares called "normal" additives, you must place in a square grid of n2 cases, - also called" compartment " -, the n2 first consecutive entire numbers, without gap or repetition, in a manner to obtain in the horizontal lines, the vertical columns, and also in the two diagonal principal, equal sums. This common sum being called "magic constant" of the magic square is also called "magic linear sum".
A square is said " semi-magic " when only the numbers of lines and columns present the same constant sum.
Certain authors do begin the continuation of the integer ones by zero, be 0, 1, 2, 3… (n2-1), as for example General Cazalas (1934), Kathleen Ollerenshaw (1998). The property of these squares remain, mutandis mutatis, the same. Nevertheless certain construction methods of magic squares are simplified; we some will give some examples.
"The order", or the " dimension ", or again " the size " of a magic square, corresponds to the cell n number by side of the grid: this is the square root of the total number of cases of the grid or considered compartment.
Of world-wide fame mathematicians, such that Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), Karl Friedrich Gauss (1777-1855), Edouard Lucas (1842-1891)… did not disdain the study of magic squares. Blaise Pascal (1623-1662) equally wrote a treaty of magic squares, " Traité des nombres magiquement magiques ", that it addressed in 1654 to the academy of Sciences. This is probably this treaty that was inserted by Antoine Arnault in the annexes of its "Nouveaux éléments de Géométrie", published in Paris in 1667 (Jacques Darriulat - 1994).
The magic squares are appeared very formerly in East, in India, and notably in China, in the first centuries of our era, for the magic squares of small order. But for the bigger orders, the general methods of construction seem to have taken birth in Persia, as early as the IX century : one finds magic squares of n order = 8, without doubt originating from problem interesting the chess game, that is himself originated in India in the VIII century.
One knows a Treaty of Magic Squares, or "harmonious Arrangement of the numbers", composed in Arab, dated back to the XI century (cf. Jacques Sésiano - 1996) The magic Squares would have been introduced in Europe in the XV century , notably by Manual Moschopoulos. But they were without doubt known in an empirical manner - non mathematical - by the " magicians " and alchemists of previous centuries, in the form of amulet or of talisman.
"Nobody will never know without doubt by which individuals the magic square concept is passed from China to Greece, to India and to Islam, then to the West, but one can only note the unique fact that an idea without any importance either economical or military usefulness, was able to cross itself the barriers between the empires, the peoples, the languages and the borders, and the time, while enriching itself constantly, to our era " (Michel Criton, Les jeux mathématiques, PUF 1997).
Nevertheless if this circuit "China-Greece-India-Islam" is admitted by most of the authors, "it appears now, that this way was followed in the opposite direction, and that the science of magic squares was already solidly established in the Arabic world towards the year thousand " (Jacques Sésiano,1996)