Carré magique d'ordre impair - n = 2 k + 1

La Méthode Eric Sizaret ( 2004 )

Commentaire et Explications de René Descombes

Cette méthode qui s'applique aux carrés magiques d'ordre impair, est expliquée pas à pas, avec un exemple d'application pour l'ordre n = 9.

I . On procède enceinte par enceinte, en commençant par la première enceinte, ou enceinte extérieure, de côté 

a = n . Le nombre A de cases de l'enceinte de côté a est: A = 2 a + 2 ( a - 2 ); avec a = 9, on a: A = 32 cases.

On sélectionne dans le carré naturel de même ordre, les premiers termes en nombre égal à ( ½ A), dits «petits entiers», ainsi que leurs complémentaires à  ( n2 + 1 ), dits «grands entiers». On rappelle que les nombres complémentaires sont symétriques, dans le carré naturel, par rapport au centre de la grille ( cf. grille I ci-dessus ).

Soit dans notre exemple, pour n = 9, les 16 premiers termes, et les 16 derniers termes de la série ( 1, n2 )

On va d'abord placer les «petits entiers» dans la première enceinte, soit les 16 premiers termes de notre exemple, de la façon suivante, par étapes successives, en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre:

1. première ligne: 1, 2, 3, 4…jusqu'à x, à partir de la seconde case, et jusqu'à la case du milieu comprise:

        Dans l'exemple ci-dessus  ( n = 9 ), on a x = 4.

2. dernière colonne ( colonne de droite ): ( x + 1 ), ( x + 2 ), … jusqu'à y, à partir de la seconde case, la case 

              du milieu exclue. Dans notre exemple: 5, 6, 7 et y = 7.

3. dernière ligne ( ligne du bas ): ( y + 1 ), ( y + 2 )…..jusqu'à z, à partir de la seconde case, la case du milieu 

exclue. Dans notre exemple: 8, 9 10, et z = 10.

4. dernière case de ligne du bas( dans l'angle inférieur droit ): z + 1, soit dans notre exemple: 10 + 1 = 11.

5. première case de la ligne du bas ( dans l'angle inférieur gauche):  z + 3, soit dans notre exemple: 10 + 3 = 13.

6. première colonne ( colonne de gauche ):  ( z + 4 ), ( z + 5 )…en descendant dans les cases libres, à partir de la

 case située au dessous de la case du milieu de la colonne: soit 14, 15, 16 dans notre exemple.

7. Case du milieu de la première colonne (colonne de gauche ): z + 2; soit 10 + 2 = 12 dans notre exemple.

8. Tous les «petits entiers» ayant été placés, on inscrit leurs complémentaires, les «grands entiers» à l'autre extrémité des  lignes, colonnes et diagonales principales correspondantes  (cf. grille II de droite ci-dessus)

La première enceinte se trouve ainsi entièrement remplie en 8 étapes spécifiques.

II. On procède exactement de la même façon, mutatis mutandis, pour les autres enceintes.

Ainsi pour la seconde enceinte, de côté a = n - 2,  soit a = 7 dans notre exemple, on aura, avec a = 7:

A = 2 a + 2 ( a -  2 ) = 24

On sélectionne les 12 «petits entiers» de la série restant dans le carré naturel, ainsi que leurs        

12 complémentaires dits «grands entiers» ( cf. grille III ci-dessous )

La seconde enceinte se remplit suivant le même processus-type que pour la première enceinte ( cf grille IV 

ci-dessous )

1	2	3	4	5	6	7	8	9			71	1	2	3	4	72	73	74	69
10	11	12	13	14	15	16	17	18			77	58	17	18	19	59	60	56	5
19	20	21	22	23	24	25	26	27			76	62						20	6
28	29	30	31	32	33	34	35	36			75	61						21	7
37	38	39	40	41	41	43	44	45			12	25						57	70
46	47	48	49	50	51	52	53	54			14	27						55	68
55	56	57	58	59	60	61	62	63			15	28						54	67
64	65	66	67	68	69	70	71	72			16	26	65	64	63	23	22	24	66
73	74	75	76	77	78	79	80	81			13	81	80	79	78	10	9	8	11
III											IV Seconde enceinte : a = 7

On a détaillé ci-après le remplissage des deux enceintes suivantes: grilles V, VI et VII, VIII.

Les constantes magiques des enceintes sont: M9 = 369; M7 = 287; M5 = 205; M3 = 123; avec = n2 + 1 = 82

1	2	3	4	5	6	7	8	9			71	1	2	3	4	72	73	74	69
10	11	12	13	14	15	16	17	18			77	58	17	18	19	59	60	56	5
19	20	21	22	23	24	25	26	27			76	62	49	29	30	50	47	20	6
28	29	30	31	32	33	34	35	36			75	61	51				31	21	7
37	38	39	40	41	41	43	44	45			12	25	34				48	57	70
46	47	48	49	50	51	52	53	54			14	27	36				46	55	68
55	56	57	58	59	60	61	62	63			15	28	35	53	52	32	33	54	67
64	65	66	67	68	69	70	71	72			16	26	65	64	63	23	22	24	66
73	74	75	76	77	78	79	80	81			13	81	80	79	78	10	9	8	11
V											VI Troisième enceinte : a = 5

1	2	3	4	5	6	7	8	9			71	1	2	3	4	72	73	74	69
10	11	12	13	14	15	16	17	18			77	58	17	18	19	59	60	56	5
19	20	21	22	23	24	25	26	27			76	62	49	29	30	50	47	20	6
28	29	30	31	32	33	34	35	36			75	61	51	44	37	42	31	21	7
37	38	39	40	41