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Constante lineaire magique. Propriétés des Carrés Magiques |
On se propose de rechercher comment on peut construire un carré magique, en nombres discontinus, lorsquon se donne a priori son ordre n et sa constante magique Mn.
Les méthodes de construction présentées reposent essentiellement sur les propriétés des carrés magiques rappelées ci-après.
Propriété dite " des quatre opérations " |
On naltère pas la magie dun carré magique lorsque lon augmente ou diminue tous ses termes dun même nombre w, ni lorsque lon multiplie ou divise lesdits termes par un même facteur.
Exemples :
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Remarque.
Cette propriété fut utilisée notamment autrefois pour la confection des amulettes, des talismans en forme de carré magique, que les belles de jadis suspendaient au cou ou portaient au poignet ou à la cheville, en guise de pendentif, gourmette, bracelet. Les kabbalistes donnaient aux carrés magiques le nom de " Kamea ", que lon peut traduire par " amulette " ; le mot " camée " en dérive directement.
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Afin de ménager un trou pour faire passer la chaînette du talisman métallique, on enlève une unité à tous les termes du carré magique de gauche. Le carré numérique de droite reste magique, avec pour constante linéaire M5 = 65 5 = 60 ( termes de zéro à 24).
Lopération nest pas répétitive sur le carré ainsi modifié, cest-à-dire sur le talisman.
Propriété dite " des permutations figurées diagonales " |
On naltère pas la magie dun carré magique dordre n, lorsque lon augmente ou diminue dun même nombre w les n termes situés sur une permutation figurée diagonale.
Exemples. On ajoute w = 20 aux termes situés sur les cases ombrées.
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n = 4 ; M4 = 34 | M4 = 34 + 20 = 54 | n=5 ; M5 = 65 | M5 = 65 + 20 = 85 |
Propriété dite " des permutations figurées diagonales maximum " |
On constate dans certains carrés magiques normaux dordre n, que les n derniers termes de la série " 1 n2 " occupent les cases dune permutation figurée diagonale, que lon nomme alors permutation figurée diagonale maximum.
Lorsque lon augmente dun même nombre w les n termes dun tel carré magique situés sur une permutation figurée diagonale maximum, on naltère pas la magie du carré magique en cause, et en outre, on est sûr de ne pas générer de doublets dans le carré magique résultant.
Cette propriété importante, trouvera son application dans différentes méthodes de construction présentées ici.
Remarques.
Dautres méthodes sont indépendantes de ces propriétés.
On peut placer ces nombres de base, sous certaines conditions ou réserves, de plusieurs façons dans une grille dordre n :
Placement des nombres de base | Exemples |
Dans la première ligne Dans la seconde ligne Sur une des diagonales principales |
n = 3, 4, 5 , 6 n = 3, 4, 5 n = 3, 4, 5 |
Ces méthodes de construction dites " arabes ", ont été notamment exposées dans le " Traité des Carrés Magiques " traduit et savamment commenté par Jacques Sésiano (1996): ouvrage dun auteur arabe du XI ème siècle, daprès un manuscrit de 1250 conservé à Istambul ( cf. Bibliographie )
Il ne faut cependant pas se faire dillusions, la décomposition arbitraire de la constante magique choisie Mn en n " nombres de base ", ne conduit pas toujours à la bonne solution. Il faut souvent modifier cette décomposition, et choisir également dautres nombres auxiliaires ou complémentaires pour arriver à ses fins. Il faut aussi beaucoup de patience et de persévérance ; lélimination des doublets est parfois pénible !
Lidéal est donné par le carré magique normal, ainsi que par tout carré magique en progression arithmétique ou géométrique continue.
Un carré magique en nombres discontinus, dont les termes successifs en série hétérogène présentent de grandes différences, et des différences très variables, ne répond donc pas à ces critères de " beauté " classique.
La constante magique Mn et lordre n du carré à construire étant choisis, on sefforcera ainsi de sélectionner, parmi toutes les solutions possibles, le carré magique présentant une série croissante de ses termes aussi homogène et régulière que possible, sans hiatus important.
Dans les exemples des pages qui suivent, les termes ordonnés en série croissante rappelés dans une grille virtuelle, représentée à côté du carré magique intéressé, permettent dapprécier le " degré de beauté ou de perfection" du carré magique construit.
Exemple :
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On pourrait tout aussi bien représenter les termes ordonnés en série croissante, sous une forme graphique, peut-être plus " parlante ".
Exemple avec le même carré magique que ci-dessus M4 = 130 :
Chacun pourra dessiner un tel graphique correspondant aux exemples donnés.
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Constante lineaire magique. Symboles |
n = ordre du carré magique, ou nombre de cases par côté de la grille carrée de n2 cases.
Mn ou Mn = Constante linéaire magique du carré magique normal dordre n.
Mn ou Mn = Constante linéaire magique dun carré numérique dordre n, en nombres discontinus, ou en progression non régulière. Cest, dans ces pages, la constante choisie " a priori ".
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Constante lineaire magique. Bibliographie |
. René Descombes - Les Carrés Magiques - Histoire,
théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité
aux recherches actuelles. Editions Vuibert -Paris, 2000, 500 pp.
(avec une bibliographie de plus de 300 titres)
. B. Kordiemsky - Sur le sentier des mathématiques - Dunod
Editeur - Paris, 2 volumes, 1963.
. Jacques Sesiano - Un traité médiéval sur
les carrés magiques (manuscrit arabe du X ème siècle,
Istambul, 1250) Presses polytechniques et universitaires romanes,
Lausanne, 1996, 210 pp. ( texte original arabe, traduction et
commentaires de Jacques Sesiano )
. Henri Berna - Jeux numériques et magiques dans la troisième
dimension - Editions Vuibert-Paris, 2000, 175 pp. ( Le dernier
ouvrage de Henri Berna, sur les carrés magiques, et surtout
les cubes magiques.)