Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
LE CHOIX A PRIORI DE LA CONSTANTE LINAIRE MAGIQUE


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GENERALITES   Propriétés 
METHODES GENERALES   Quotient    Multiplicative   Edouard Lucas et Reichmann (n=3)   Permutations fig diagonales   Quotient et reste   Bergholtz et Iermakov (n=4)   Labosne-Méziriac 
METHODES ARABES   nbres base : 1ere ligne   nbres base : 2eme ligne   nbres base : diagonale principale 

Constante lineaire magique. Propriétés des Carrés Magiques

On se propose de rechercher comment on peut construire un carré magique, en nombres discontinus, lorsqu’on se donne a priori  son ordre n et sa constante magique M’n.

Les méthodes de construction présentées reposent essentiellement sur les propriétés des carrés magiques rappelées ci-après.

 Propriété dite " des quatre opérations "

On n’altère pas la magie d’un carré magique lorsque l’on augmente ou diminue tous ses termes d’un même nombre w, ni lorsque l’on multiplie ou divise lesdits termes par un même facteur.

Exemples :

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1
8
20
21
9
16
36
39
3
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6
3
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11
23
18
18
9
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30
7
2
14
11
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22
19
21
6
42
33
9
16
4
5
17
24
12
13
27
48
12
15
 Carré magique
normal-M4 = 34
 Addition : w = 8
M’4 = 34 + (4 x 8) = 66
 Multiplication par 3
M’4= 34 x 3 =102

 

3
3¼
 ¼
2
4
5
-7
0
1½
¾
3¾
2¾
-2
-5
7
2
1¾
½
3½
2¾
-1
-6
6
3
2¼
4
1
1¼
1
8
-4
-3
 Division par 4
M’4 = 34 / 4 =8 ½
 Soustraction w = - 8
M’4 = 34 – ( 4 x 8 ) = 2

Remarque.

Cette propriété fut utilisée notamment autrefois pour la confection des amulettes, des talismans en forme de carré magique, que les belles de jadis suspendaient au cou ou portaient au poignet ou à la cheville, en guise de pendentif, gourmette, bracelet. Les kabbalistes donnaient aux carrés magiques le nom de " Kamea ", que l’on peut traduire par " amulette " ; le mot " camée " en dérive directement.

 

13
7
1
25
19
12
6
D
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21
20
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8
2
20
19
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7
1
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16
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6
4
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11
5

Afin de ménager un trou pour faire passer la chaînette du talisman métallique, on enlève une unité à tous les termes du carré magique de gauche. Le carré numérique de droite reste magique, avec pour constante linéaire M’5 = 65 – 5 = 60 ( termes de zéro à 24).

L’opération n’est pas répétitive sur le carré ainsi modifié, c’est-à-dire sur le talisman.

 Propriété dite " des permutations figurées diagonales "

On n’altère pas la magie d’un carré magique d’ordre n, lorsque l’on augmente ou diminue d’un même nombre w les n termes situés sur une permutation figurée diagonale.

Exemples. On ajoute w = 20 aux termes situés sur les cases ombrées.

4
9
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6
4
9
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5
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18
32
6
n = 4  ; M4 = 34 M’4 = 34 + 20 = 54 n=5 ; M5 = 65 M’5 = 65 + 20 = 85

 Propriété dite " des permutations figurées diagonales maximum "

On constate dans certains carrés magiques normaux d’ordre n, que les n derniers termes de la série " 1 – n2 " occupent les cases d’une permutation figurée diagonale, que l’on nomme alors permutation figurée diagonale maximum.

Lorsque l’on augmente d’un même nombre w les n termes d’un tel carré magique situés sur une permutation figurée diagonale maximum, on n’altère pas la magie du carré magique en cause, et en outre, on est sûr de ne pas générer de doublets dans le carré magique résultant.

Cette propriété importante, trouvera son application dans différentes méthodes de construction présentées ici.

Remarques.

  1. Un certain nombre des méthodes présentées ici, utilisent soit l’une, soit l’autre de ces propriétés, soit celles-ci simultanément.

    D’autres méthodes sont indépendantes de ces propriétés.

  2. La plupart des méthodes de construction de ces carrés magiques utilisent comme auxiliaire un carré magique normal de même ordre.
  3. La décomposition de la constante magique choisie M’n en une somme de n " nombres de base ", a, b, c, d…, telle que M’n = a + b + c + d + …, est à la base de plusieurs des méthodes de construction présentées, dites " méthodes arabes ".

    On peut placer ces nombres de base, sous certaines conditions ou réserves, de plusieurs façons dans une grille d’ordre n :

    Placement des nombres de base Exemples

    Dans la première ligne

    Dans la seconde ligne

    Sur une des diagonales principales

    n = 3, 4, 5 , 6

    n = 3, 4, 5

    n = 3, 4, 5

    Ces méthodes de construction dites " arabes ", ont été notamment exposées dans le " Traité des Carrés Magiques " traduit et savamment commenté par Jacques Sésiano (1996): ouvrage d’un auteur arabe du XI ème siècle, d’après un manuscrit de 1250 conservé à Istambul ( cf. Bibliographie )

    Il ne faut cependant pas se faire d’illusions, la décomposition arbitraire de la constante magique choisie M’n en n " nombres de base ", ne conduit pas toujours à la bonne solution. Il faut souvent modifier cette décomposition, et choisir également d’autres nombres auxiliaires ou complémentaires pour arriver à ses fins. Il faut aussi beaucoup de patience et de persévérance ; l’élimination des doublets est parfois pénible !

  4. On assimile habituellement la " beauté ", la " perfection " ou l’esthétique d’un carré magique à la régularité et à l’homogénéité de la série croissante de ses termes.

    L’idéal est donné par le carré magique normal, ainsi que par tout carré magique en progression arithmétique ou géométrique continue.

    Un carré magique en nombres discontinus, dont les termes successifs en série hétérogène présentent de grandes différences, et des différences très variables, ne répond donc pas à ces critères de " beauté " classique.

    La constante magique M’n et l’ordre n du carré à construire étant choisis, on s’efforcera ainsi de sélectionner, parmi toutes les solutions possibles, le carré magique présentant une série croissante de ses termes aussi homogène et régulière que possible, sans hiatus important.

    Dans les exemples des pages qui suivent, les termes ordonnés en série croissante rappelés dans une grille virtuelle, représentée à côté du carré magique intéressé, permettent d’apprécier le " degré de beauté ou de perfection" du carré magique construit.

    Exemple :

    10
    52
    49
    19
    10
    13
    16
    19
    43
    25
    28
    34
    22
    25
    28
    31
    31
    37
    40
    22
    34
    37
    40
    43
    46
    16
    13
    55
    46
    49
    52
    55
    Carré magique
    M’4 = 130
    Série croissante
    homogène ( r = 3 )

    On pourrait tout aussi bien représenter les termes ordonnés en série croissante, sous une forme graphique, peut-être plus " parlante ".

    Exemple avec le même carré magique que ci-dessus – M’4 = 130 :

    Chacun pourra dessiner un tel graphique correspondant aux exemples donnés.

Constante lineaire magique. Symboles

    n = ordre du carré magique, ou nombre de cases par côté de la grille carrée de n2 cases.

    Mn ou Mn = Constante linéaire magique du carré magique normal d’ordre n.

    M’n ou M’n = Constante linéaire magique d’un carré numérique d’ordre n, en nombres discontinus, ou en progression non régulière. C’est, dans ces pages, la constante choisie " a priori ".

Constante lineaire magique. Bibliographie

. René Descombes - Les Carrés Magiques - Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles. Editions Vuibert -Paris, 2000, 500 pp. (avec une bibliographie de plus de 300 titres)
. B. Kordiemsky - Sur le sentier des mathématiques - Dunod Editeur - Paris, 2 volumes, 1963.
. Jacques Sesiano - Un traité médiéval sur les carrés magiques (manuscrit arabe du X ème siècle, Istambul, 1250) Presses polytechniques et universitaires romanes, Lausanne, 1996, 210 pp. ( texte original arabe, traduction et commentaires de Jacques Sesiano )
. Henri Berna - Jeux numériques et magiques dans la troisième dimension - Editions Vuibert-Paris, 2000, 175 pp. ( Le dernier ouvrage de Henri Berna, sur les carrés magiques, et surtout les cubes magiques.)