Les Carrés Magiques
Histoire, théorie et technique du carré magique, de l'Antiquité aux recherches actuelles
LE CHOIX A PRIORI DE LA CONSTANTE LINAIRE MAGIQUE


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GENERALITES   Propriétés 
METHODES GENERALES   Quotient    Multiplicative   Edouard Lucas et Reichmann (n=3)   Permutations fig diagonales   Quotient et reste   Bergholtz et Iermakov (n=4)   Labosne-Méziriac 
METHODES ARABES   nbres base : 1ere ligne   nbres base : 2eme ligne   nbres base : diagonale principale 

La méthode du nombre additionnel uniforme, ou Méthode du quotient

On augmente d’un même nombre tous les termes du carré auxiliaire.

On choisit la nouvelle constante M’n, et l’on répartit la différence entre cette nouvelle constante M’n, et la constante magique Mn du carré magique auxiliaire normal, sur les n termes de chaque ligne (ou colonne) du carré auxiliaire.

Soit à répartir le nombre additionnel élémentaire

Exemple pour n = 3 :

Carré auxiliaire (Lo Shu) : M3 = 15

Soit M’n = 69, on a alors .

8

1

6

26

19

24

19

20

21

3

5

7

21

23

25

22

23

24

4

9

2

22

27

20

25

26

27
Carré auxiliaire
Le Lo Shu
M3 = 15
Carré Magique
 
M’3 = 69
Termes en série
croissante homogène
(r=1)

Lorsque la quantité à répartir " = M’n - Mn " est divisible par n, on obtient un carré magique en nombres entiers > 0. Mais cela limite le choix de la nouvelle constante magique M’n.

En effet = M’n - Mn divisible par n, est donc de la forme = k.n

avec , d’où :  ; et

On en déduit K = w. Le tableau des valeurs de M’n = f ( n, k ) peut ainsi être présenté :

k = w

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

14

18

20

n = 3

18

21

24

27

30

33

36

39

42

45

51

57

69

75

n = 4

38

42

46

50

54

58

62

66

70

74

82

90

106

114

n = 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

125

135

155

165

n = 6

117

123

129

135

141

147

153

159

165

171

183

195

219

231

La série des valeurs de M’n dans chaque ligne est en progression arithmétique de premier terme a 1 = n + Mn et de raison r = n.

Pour n impair, les valeurs de M’n sont des multiples de n ;

Pour n pair, les valeurs de (M’n -) sont des multiples de n.

. Mais si l’on admet des nombres fractionnaires, ou des nombres négatifs dans le carré magique que l’on veut construire, alors M’n peut être quelconque.

Exemple avec n = 4 et des nombres fractionnaires.

4

9

15

6

13¾

18¾

24¾

15¾

10¾

11¾

12¾

13¾

14

7

1

12

23¾

16¾

10¾

21¾

14¾

15¾

16¾

17¾

5

16

10

3

14¾

25¾

19¾

12¾

18¾

19¾

20¾

21¾

11

2

8

13

20¾

11¾

17¾

22¾

22¾

23¾

24¾

25¾
Carré auxiliaire
M4 = 34
Carré magique
M’4 = 73
Termes en série croissante
(r=1)

Soit M’4 = 73, on a alors

Exemple avec n = 4 et des nombres négatifs.

16

3

2

13
 12 -1 -2 9

-3

-2

-1

0

5

10

11

8
 1 6 7 4

1

2

3

4

9

6

7

12
 5 2 3 8

5

6

7

8

4

15

14

1
 0 11 10 -3

9

10

11

12
Carré auxiliaire
dit de Dürer
M4 = 34
Carré magique
M’4 = 18
Termes en série
croissante
( r = 1 )

Soit M’4 = 18 , on a alors