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Les cercles magiques du carré de Dürer |
On peut inscrire dans un cercle vingt configurations différentes des 4 termes (dont 8 permutations figurées) donnant la constante magique dans le carré magique de Dürer. Ces formations sont matérialisées dans les grilles ci-dessous :
On remarque que certains cercles se superposent, ainsi dans les formations des grilles 11, 12, 13, 14, 47 et 48,
ce qui réduit à 15 le nombres de cercles distincts
( cf. dessin ci-dessous).
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Les mosaiques, la numeration binaire et le parcours graphique du carré de Dürer |
| La mosaïque magique du Carré de Dürer |
La " mosaïque magique " de ce carré, très simple, présente une symétrie par rapport à l’axe médian horizontal.
| X | X | ||||
| X | |||||
| X | X | ||||
| X | X | ||||
| Le Carré de Dürer en numeration binaire |
Dans cette manipulation, on considère le carré de Dürer réalisé avec la série des 16 entiers consécutifs de 0 à 15 (à gauche ci-dessous)
| A | C | |||||||||
| 15 | 2 | 1 | 12 | 1111 | 0010 | 0001 | 1100 | |||
| 4 | 9 | 10 | 7 | 0100 | 1001 | 1010 | 0111 | |||
| 8 | 5 | 6 | 11 | 1000 | 0101 | 0110 | 1011 | |||
| 3 | 14 | 13 | 0 | 0011 | 1110 | 1101 | 0000 | |||
| D | B | |||||||||
Rappelons la numération binaire correspondante :
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
Le carré de Dürer ainsi modifié s’établit alors comme figuré dans la grille de droite ci-dessus.
On remarque alors, dans cette configuration :
- que les termes symétriques par rapport à la première diagonale A B sont symétriques l’un de l’autre
- que les termes symétriques par rapport à la seconde diagonale C D sont " miroir " inversé l’un de l’autre (les chiffres 1 et 0 sont intervertis)
On le voit mieux dans la présentation ci-dessous :
| Le parcours graphique du Carré de Dürer. |
Voici quelques connections faisant apparaître de mystérieux hexagones entrelacés:
Dans la grille da gauche, on a relié les séries 0, 1, 2, 3 ; 4, 5, 6, 7 ; 8, 9, 10, 11 ; 12, 13, 14, 15.
Dans la grille de droite, on a relié d’une certaine façon 3 séries de 4 nombres pairs entre eux
(2, 4, 8, 14 ; 2, 10, 6, 14 ; 0, 6, 10, 12) et 3 séries de 4 nombres impairs entre eux (3, 5, 9, 15 ; 1, 9, 5, 13 ;
1, 7, 11, 13), de haut en bas.
